Tárgy kód és cím
MAN13 Operátorelmélet
Meghirdetés
Minden második tanévben kerül meghirdetésre 2+0 bontásban. Elõismeret: MAN 02.
Hallgatóság
A kurzus a matematika tanárképzésben Analízis blokktárgyként szerepel.
A kurzus célja
A Hilbert terek operátorainak elméletébe való bevezetés.
Tematika
A Hahn-Banach féle szétválasztási és kiterjesztési tételek. Lokálisan konvex terek, félnormarendszerek. Gyenge és gyenge-* topológiák. Konvex halmaz lezártja és extremális pontjai. Normált terek reflexivitásának jellemzése. Normális, unitér és önadjungált operátorok Hilbert tereken. Az ortogonális projekciók hálója. Az erõs és gyenge operátor topológiák. Banach algebrák, egy elem spektruma, spektrálsugár tétel. Kommutatív Banach algebrák, a Gelfand transzformáció. -algebrák. Az kompakt, Hausdorff téren értelmezett folytonos függvények és izomorfiájának kérdése. Függvénykalkulus -algebra normális elemére. A Neumann algebra fogalma, projekciók Neumann algebrákban. Spektrálmérték szerinti integrálás. A spektráltétel normális operátorokra és normális operátorok kommutatív rendszereire. Függvénykalkulus normális operátorokra.
Irodalom
R.V.Kadisan - J.R. Ringrose: Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol. I., Elementary theory, Academic Press 1983.

A Hahn-Banach féle szétválasztási és kiterjesztési tételek. Lokálisan konvex terek, félnormarendszerek. Gyenge és gyenge-* topológiák. Konvex halmaz lezártja és extremális pontjai. Normált terek reflexivitásának jellemzése. Normális, unitér és önadjungált operátorok Hilbert tereken. Az ortogonális projekciók hálója. Az erõs és gyenge operátor topológiák. Banach algebrák, egy elem spektruma, spektrálsugár tétel. Kommutatív Banach algebrák, a Gelfand transzformáció. -algebrák. Az kompakt, Hausdorff téren értelmezett folytonos függvények és izomorfiájának kérdése. Függvénykalkulus -algebra normális elemére. A Neumann algebra fogalma, projekciók Neumann algebrákban. Spektrálmérték szerinti integrálás. A spektráltétel normális operátorokra és normális operátorok kommutatív rendszereire. Függvénykalkulus normális operátorokra.