101. Algebra (2+0)

102. Mérték- és integrálelmélet (2+0)

103. Topológia (2+0)

104. Diszkrét matematika (2+0)

ALGEBRA

211. Félcsoportelmélet (2+0)

212. Hálóelmélet (2+0)

213. Univerzális algebra (2+0)

214. Csoportelmélet (2+0)
 

ANALIZIS

221. Fejezetek a komplex függvénytanból (2+1)

222. Függvényterek és duálisaik (2+1)

223. Bevezetés az approximációelméletbe (3+2)

224. Fourier-sorok I (2+0)
 

DINAMIKUS RENDSZEREK ÉS SZTOCHASZTIKA

231. Közönséges differenciálegyenletek I (2+0)

232. Közönséges differenciálegyenletek II (2+0)

233. Parciális differenciálegyenletek I (2+0)

234. Dinamikus rendszerek I (2+0)

235. Dinamikus rendszerek II (2+0)

236. Válogatott fejezetek a matematikai analízisbõl (2+0)

237. Határeloszlástételek (2+0)

238. Válogatott fejezetek a matematikai statisztikából (2+0)
 

GEOMETRIA ÉS KOMBINATORIKA

241. Kombinatorikus módszerek a geometriában (2+0)

242. Lie csoportok és Lie algebrák (2+0)

243. Konvex testek és klasszikus integrálgeometria (2+0)

244. Algoritmikus geometria (2+0)

245. Geometriai algebra (2+0)

246. Riemann geometria (2+0)

247. Algebrai topológia (2+0)

300. Reguláris félcsoportok (2+0)

301. Félcsoportok univerzális algebrai vizsgálata (2+0)

302. Kongruenciavarietások (2+0)

303. Hálók koordinátázáselmélete (2+0)

304. Véges rendezések (2+0)

305. Klónok (2+0)

306. Véges algebra (2+0)

307. Kommutátor-elmélet (2+0)

308. Modellelmélet (2+0)

309. Algebrai logika (2+0)

310. Testelmélet és Galois-elmélet (2+0)

311. Gyûrûk és modulusok (2+0)

312. Reprezentáció-elmélet (2+0)

313. Lineáris algebra (2+0)

314. Kódoláselmélet (2+0)

320. Hilbert-terek, Banach-terek és operátoraik I (2+1)

321. Hilbert-terek, Banach-terek és operátoraik II (2+1)

322. Hilbert térbeli kontrakciók I (2+1)

323. Hilbert térbeli kontrakciók II (2+1)

324. Erõs szummáció és approximáció I (2+1)

325. Erõs szummáció és approximáció II (2+1)

326. Ortogonális sorok konvergenciája és szummációja I (2+1)

327. Ortogonális sorok konvergenciája és szummációja II (2+1)

328. Trigonometrikus sorok I (2+1)

329. Trigonometrikus sorok II (2+1)

330. Egyenlõtlenségek, numerikus approximáció (2+1)

331. Fourier-sorok II (2+1)

332. Fourier-integrálok I (2+1)

333. Fourier-integrálok II (2+1)

334. Modern függvényterek (2+1)

335. Harmonikus analízis Euklidészi tereken I (2+1)

336. Harmonikus analízis Euklidészi tereken II (2+1)

337. Ortogonális polinomok I (3+1)

338. Ortogonális polinomok II (2+0)

339. Fejezetek az approximációelméletbõl I (2+1)

340. Fejezetek az approximációelméletbõl II (2+1)

341. Racionális és komplex approximáció (2+0)

342. Operátor-approximáció (2+0)

343. Polinom-approximáció (2+0)

344. Unicitási problémák (2+0)

345. n-width-ek (2+0)

346. Fraktálok és wavelet-ek (2+1)

347. Speciális függvények (3+0)

348. Potenciálelmélet és alkalmazásai (2+0)

349. Interpolációelmélet (2+0)

360. Funkcionál-differenciálegyenletek I (2+0)

361. Funkcionál-differenciálegyenletek II (2+0)

362. Parciális differenciálegyenletek II (2+0)

363. Stabilitáselmélet I (2+0)

364. Stabilitáselmélet II (2+0)

365. Bifurkációelmélet, káosz I (2+0)

366. Bifurkációelmélet, káosz II (2+0)

367. Irányításelmélet (2+0)

368. Differenciálegyenletek alkalmazásai (2+0)

369. Differenciálegyenletek numerikus módszerei (3+0)

370. Differenciaegyenletek (2+0)

371. Differenciál- és integrálegyenlõtlenségek (2+0)

372. Klasszikus mechanika (2+0)

373. Matematikai fizika (2+0, 2+0)

374. Klasszikus és kvantumtérelmélet (2+0)

375. Nemlineáris hullámok és szolitonok (2+0)

376. A kvantummechanika alapjai (2+0)

377. A Markov-folyamatok általános elmélete, diffúziós folyamatok (2+0)

378. A sztochasztikus folyamatok statisztikája (2+0)

379. A matematikai fizika valószínûségi módszerei (2+0)

380. Gelfand-féle integrálgeometria (2+0)

381. Geometriai analízis (2+0)

382. Gráfelmélet (2+0)

383. Konvex geometria (2+0)

384. Szövetgeometria (2+0)

385. Integrálható rendszerek (2+0)

386. Bonyolultságelmélet (2+0)

387. Politopok kombinatorikája (2+0)

388. Halmazrendszerek (2+0)

389. Konnexió elmélet és holonómia csoportok (2+0)

390. Szimmetrikus terek (2+0)
 
 

Az alprogramok leírása

Az alprogram vezetõje: Csákány Béla, a tudomány doktora, Bolyai Intézet, egyetemi tanár

Közremûködõ vezetõ oktatók:

Czédli Gábor, az MTA doktora, Bolyai Intézet, egyetemi tanár
Klukovits Lajos, kandidátus, Bolyai Intézet, egyetemi docens
Márki László, az MTA doktora, MTA Matematikai Kut. Int., tudományos fõmunkatárs
Megyesi László, kandidátus, Bolyai Intézet, egyetemi docens
Pálfy Péter Pál, az MTA doktora, MTA Matematikai Kut. Int., tudományos fõmunkatárs
Pham Ngoc Anh, az MTA doktora, MTA Matematikai Kut. Int., tud. tanácsadó
Pollák György, kandidátus, MTA Matematikai Kut. Int., tudományos fõmunkatárs
Sain Ildikó, kandidátus, MTA Matematikai Kutató Intézet, tudományos fõmunkatárs
Schmidt E. Tamás, az MTA doktora, BME, egyetemi tanár
Szabó László, kandidátus, Bolyai Intézet, egyetemi docens
Szendrei Ágnes, mat. tud. doktora, Bolyai Intézet, egyetemi tanár
B. Szendrei Mária, mat. tud. doktora, Bolyai Intézet, egyetemi tanár
Zádori László, Ph.D. (Univ. of Illinois), Bolyai Intézet, egyetemi docens
 

Az algebra alprogram leírása

Az Algebra alprogram az algebra következõ, Szegeden eredményesen mûvelt ágaiban nyújt képzést:

Félcsoportelmélet (Témavezetõ: B. Szendrei Mária),
Hálóelmélet (Témavezetõ: Czédli Gábor),
Univerzális algebra (Témavezetõ: Szendrei Ágnes).

Az algebra alprogramhoz kapcsolódó kurzusok
 
 

101. Algebra (2+0)

Matematikai struktúrák felépítése halmazelméleti fogalmak segítségével. Kategóriák. Matematikai struktúrák mint kategóriaelméleti objektumok. Az algebra tárgya; az algebrai struktúrák típusai. Az algebra eszközei; alkalmazásuk a matematika más területein. Az algebra céljai; nevezetes leírási, jellemzési és reprezentáció-tételek. Algebrai struktúrák más matematikai struktúrákkal ellátva. A számfogalom algebrai szempontból.

Irodalom: Rédei: Algebra I., Fried: Általános algebra.
 
 

211. Félcsoportelmélet (2+0)

Transzformációfélcsoport, szabad félcsoport. Ideál és Rees-kongruencia, Green-relációk, a D-osztályok szerkezete. Reguláris elem, inverzelem, reguláris D-osztályok. Egyszerû félcsoportok, fõfaktorok, Rees tétele teljesen egyszerû félcsoportokra. Teljesen reguláris félcsoportok, csoportok félhálói, inverz félcsoportok.

Irodalom: Howie: An introduction to semigroup theory
 
 
 
 

212. Hálóelmélet (2+0)

Hálóelméleti alapfogalmak, dualitás, teljes hálók. Algebrai hálók, részalgebra hálók. Disztributív hálók: Birkhoff és Stone reprezentációs tétele, véges disztributív hálók szerkezete. Birkhoff és Dedekind kritériuma, a három elem által generált szabad moduláris és disztributív háló. Hálókongruenciák. Moduláris hálók: intervallumok, elemfelbontások. Geometriai hálók és komplementumos moduláris hálók. Projektív geometriák mint moduláris hálók. Hálóvarietások.

References: Grätzer: General Lattice Theory
 
 
 
 

213. Univerzális algebra (2+0)

Algebra, kifejezésfüggvény, polinomfüggvény. Részalgebra. Izomorfizmus, homomorfizmus, általános izomorfiatételek. Direkt szorzat, további szorzatfajták. Szubdirekt felbontás, Birkhoff tétele. Lezárási operátorok, lezárási rendszerek. Kongruenciaháló. Szabad algebra. Varietások. Birkhoff varietástétele, Birkhoff-féle teljességi tétel. Varietások ekvivalenciája. Azonosságokkal jellemezhetõ tulajdonságok varietásokon. Malcev és Pixley tétele. Magari tétele. Minimális varietások. Primál algebra által generált varietások.

Irodalom: Burris-Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába, McKenzie-McNulty-Taylor: Algebras, Lattices, Varieties.
 
 
 
 

214. Csoportelmélet (2+0)

Testek multiplikatív csoportja. Permutációcsoportok (primitív és többszörösen tranzitív csoportok, koszorúszorzat, Frobenius csoportok). Szabad csoportok. Feloldható csoportok. p-csoportok. Nilpotens csoportok. A transzfer. A Burnside-probléma. Mátrix-csoportok. Véges egyszerû csoportok. Részcsoporthálók.

Irodalom Huppert: Endliche Gruppen, M. Hall Jr.:The Theory of Groups. Aschbacher: Finite Group Theory.
 
 
 
 

300. Reguláris félcsoportok (2+0) Elõfeltétel: 211

Reguláris félcsoportok kongruenciái: kongruenciák magja és nyoma, a kongruenciaháló, speciális kongruenciák. Teljesen reguláris félcsoportok: teljesen egyszerû félcsoportok, Clifford-félcsoportok, kötegek. Inverz félcsoportok: Munn-félcsoportok, E-unitér inverz félcsoportok, P-tétel. Ortodox félcsoportok: Hall-félcsoportok, E-unitér reguláris félcsoportok. Reguláris félcsoportok és birendezett halmazok. Reguláris félcsoportok általánosításai.

Irodalom Howie: An introduction to semigroup theory, Nambooripad: Structure of regular semigroups I, Pastijn és Petrich: Congruences on regular semigroups, Petrich: Inverse semigroups.
 
 
 
 

301. Félcsoportosztályok univerzális algebrai vizsgálata (2+0) Elõfeltétel: 211

Félcsoportvarietások hálója, fontos részhálói, véges bázis tulajdonság, szóprobléma. Szabad teljesen reguláris félcsoportok, a teljesen reguláris félcsoportok varietásainak hálója, a kötegvarietások hálója. Szabad inverz félcsoportok, az inverz félcsoportok varietásainak hálója. Nincs szabad reguláris ill. szabad ortodox félcsoport. Reguláris félcsoportok egzisztencia-varietásai, biszabad objektumok, ortodox félcsoportok bivarietásai.

Irodalom Evans: The lattice of semigroup varieties, Howie: An introduction to semigroup theory, Petrich: Inverse semigroups
 
 
 
 

302. Kongruenciavarietások (2+0) Elõfeltétel: 212

A kongruenciadisztributivitás jelentõsége, Baker tétele. Jónsson-kifejezések, Day-kifejezések (Gumm-kifejezések). Malcev-osztályok és erõs Malcev-osztályok jellemzése. Nation hálóazonosságai, (3,3)-azonosságok. Polin ellenpéldája és a \quad$\models_c$ mod\quad jellemzése. A modularitás néhány következményazonossága kongruenciavarietásokban. Abel-féle hálók és Abel-féle (= modulusvarietásból származó) kongruenciavarietások. Az Abel- féle kongruenciavarietások öndualitása. Modulusvarietások kongruencia-kvázivarietásai. A kommutátorelmélet alapjai. A kommutátorelmélet alkalmazásai kongruenciavarietásokra: "kongruenciapattintás'', gyémántazonosságok, Day és Kiss elegendõ feltételei az Abel-féleségre. Példa nem-Abel-féle kongruenciavarietásra. Lokális varietások kongruenciavarietásai.
 
 
 
 

303. Hálók koordinátázás-elmélete (2+0) Elõfeltétel: 212

Geometriai hálók. Geomoduláris hálók és projektív geometriák jellemzése. A Desargues-tétel hálóelméleti megfelelõi. Desargues-féle geometriai hálók (direkt tényezõinek) koordinátázása. Neumann-keretek és az általuk generált komplementumos moduláris hálók koordinátázása. Huhn-gyémánt. Az n-disztributív hálók elmélete. Huhn-gyémánt által prezentált szubdirekt irreducibilis hálók. Gyémánt (illetve keret) által generált Desargues-féle hálók koordinátázása. Neumann-féle dimenziófüggvény. Lineáris hálók bizonyításelmélete.

Irodalom Crawley-Dilworth: Algebraic Theory of Lattices
 
 
 
 

304. Véges rendezések (2+0)

Sorozatparallel rendezések. Dilworth láncokra bontási tétele. Rendezések dimenziója. Véges disztributív hálók és rendezések kapcsolata. Sperner típusú tételek. Lebontható rendezések és a fixponttulajdonság. Rendezések cikkcakkjai. Monotone mûveletek, Tardos tétele. Irreducibilis rendezések. Rendezés varietások.

Irodalom Cikkek az "Order" c. Folyóiratból.
 
 
 
 

305. Klónok (2+0) Elõfeltétel: 213

Absztrakt klónok és mûveletklónok. Galois-kapcsolatok. Relációklónok és mûveletklónok kapcsolata, Baker-Pixley-tétel. Nevezetes teljességi tételek: általános Lagrange-interpoláció véges testekben, Werner-Wille-tétel, Sheffer-Webb-tétel, S\l upecki-tétel, Salomaa-tétel. Véges halmazok klónhálói; Janov-Mu\v cnik-tétel. Maximális klónok; Post-tétel. Rosenberg-tétel és néhány alkalmazása: McKenzie-tétel, a minta-függvények teljessége. Sheffer-függvények; Rousseau-tétel. Minimális klónok. Swierczkowski lemmája. Rosenberg típus-tétele. Primitiv pozitiv klónok; Kuznyecov-tétel.
 
 
 
 

306. Véges algebra (2+0) ELõfeltétel: 213,305

Rosenberg tétele (a bizonyítás egyes részleteivel). Alkalmazások a függvényteljességre: Maurer-Rhodes-tétel, McKenzie-tétel, a minta-algebrák függvényteljessége. A primál algebrák Stone-Hu-féle dualitás-elmélete. A primál algebrák általánosításai. Lokálisan véges varietások. Varietás spektruma. Relációklónok és szabad algebrák kapcsolata. Véges azonosságbázisú algebrák. Post és Lyndon tételei. új irányzatok a véges univerzális algebrában.

Irodalom Berman, McKenzie, Szendrei Ágnes, Taylor és mások válogatott cikkei.
 
 
 
 

307. Kommutátorelmélet (2+0) Elõfeltétel: 213

A kongruencia-moduláris varietások alapvetõ tulajdonságai. A moduláris kommutátor és az Abel-féle algebrák alaptétele. A moduláris varietások 3-változós Malcev-típusú jellemzése. Feloldhatóság, centrum, nilpotencia. Kommutátor-azonosságok. A moduláris varietásokhoz tartozó gyûrû. Struktúratételek moduláris varietásokban. A moduláris varietások szigorúan egyszerû algebrái. Malcev-feltétellel leírható kongruencia-azonosságok moduláris varietásokban.

Irodalom Burris-Sankappanavar: A Course in Universal Algebra, Freese-McKenzie: Commutator Theory for Congruence Modular Varieties, McKenzie-McNulty-Taylor: Algebras, Lattices, Varieties.
 
 
 
 

308. Modellelmélet (2+0)Elõfeltétel: 213

Elsõrendû nyelvek és struktúrák, modell. Szûrõ, ultra szûrõ; redukált szorzat, ultraszorzat. Elemi ekvivalencia, elemi bõvítés. Los tétele. Kompaktsági tétel. Löwenheim- Skolem-tétel. Nemstandard modellek. Az axiomatizálható osztályok jellemzése. Horn-formulák. Megmaradási tételek. Birkhoff varietás-tételének modellelméleti bizonyítása. Eldönt hetõségi kérdések.

Irodalom Chang-Keisler: Model Theory, Grätzer: Universal Algebra, Burris-Sankappanavar: Bevezetés az univerzális algebrába.
 
 
 
 

309. Algebrai logika (2+0) Elõfeltétel: 213

Nemklasszikus logikák algebrai megközelítése. Unér relációk Boole algebráinak általánosítása n-argumentumú relációk Boole algebráira. Többargumentumú relációk algebrai elméletei (reláció-, cilindrikus-, poliadikus- stb. algebrák). Elsõrendû logika algebraizáltjai. Univerzális algebrai logika (egy általános logikaelmélet algebraizálása). összefüggések logikai és algebrai tételek és fogalmak között.

Irodalom Henkin-Monk-Tarski: Cylindric Algebras, Henkin- Monk-Tarski- and-Réka-Németi: Cylindric Set Algebras, Tarski-Givant: A formalization of set theory without variables.
 
 
 
 

310. Testelmélet és Galois-elmélet (2+0)

Testbõvítések. Egyszerû algebrai és transzcendens bõvítés. Véges dimenziós bõvítés; a dimenzió számok szorzattétele. Felbontási test és normális bõvítés. Véges testek. Tökéletes testek. Galois-csoport. A Galois- elmélet fõtétele. Egyenletek megoldhatósága gyökmennyiségekkel. Ruffini-Abel tétel. A geometriai szerkeszthetõség algebrai elmélete.

Irodalom Rédei: Algebra I., Jacobson: Basic Algebra I.
 
 
 
 

311. Gyûrûk és modulusok (2+0)

Morita-elmélet. Morita-ekvivalencia; jellemzések és alkalmazások struktúraelméletre és Brauer-csoportra. Morita-dualitás; jellemzések, duális, PF- és QF-gyûrûk, AB* és lineáris kompaktság. Struktúraelmélet. Szemiperfekt modulusok és gyûrûk. Perfekt gyûrûk. Bass és Björk tételei. PI-gyûrûk. Alapvetõ fogalmak. Kaplansky, Amitsur-Levitzky tételei.

Irodalom Jacobson: Basic Algebra I., és folyóirati cikkek.
 
 
 
 

312. Reprezentáció-elmélet (2+0)

Gyûrû felbontása ideálok direkt összegére. A minimumfeltétel és következményei. Jacobson-radikál. Féligegyszerû gyûrûk, Wedderburn-Artin tétel. Féligegyszerû gyûrû feletti modulusok. Irreducibilis modulusok; Schur-lemma; Jacobson-féle sûrûségi tétel. Test feletti algebrák. Wedderburn-Artin tétele a féligegyszerû gyûrû feletti végesdimenziós algebrákra. Csoport reprezentációja, ekvivalens reprezentációk. Csoportalgebra. A csoportalgebra feletti modulusok és a reprezentációk kapcsolata. Maschke tétele. A teljes reducibilitás tétele. Reprezentációk a komplex számtest felett. Csoportkarakterek. Ortogonalitási relációk. Alkalmazás: a Burnside-tétel bizonyítása.

Irodalom Kaluzsnyin: Bevezetés az absztrakt algebrába, Scott: Group Theory.
 
 
 
 

313. Lineáris algebra (2+0)

Lineáris transzformáció sajátértékei, sajátvektorai, karak terisztikus polinomja. Euklideszi terek. Ortogonális és önadjungált transzformációk. A kvadratikus alakok fõtengelytétele. Unitér terek, normális transzformációk. Modulusok. A fõideálgyûrû feletti végesen generált modulusok alaptétele. Test feletti mátrixok Jordan-féle normálalakja, Cayley-Hamilton tétel.

Irodalom Kérchy: Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe, Jacobson: Basic Algebra I.
 
 
 
 

314. Kódoláselmélet (2+0)

Titkosírások. A prímszámok elméletének jelentõsége. Solovay-Strassen-teszt. Miller-Rabin-teszt. Carmichael-számok. Az RSA titkosírás. Prímfaktorizációs módszerek. Titokmegosztás, kulcsváltás. Az információ tömör tárolása: monoidelméleti alapok, Huffman-módszer. Hibajelzõ és -javító kódolások. Lineáris és ciklikus kódok. Hamming-, Reed-Müller, Golay- és BCH kódolás és dekódolás.

Irodalom Birkhoff-Bartee: A modern algebra a számítástudományban, Neal Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography.

Az alprogram vezetõje: Dr. Leindler László, az MTA rendes tagja, egyetemi tanár

Közremûködõ vezetõ oktatók:

1. Dr. Durszt Endre, kandidátus, egy. docenc
2. Dr. Kérchy László, az MTA doktora, egy. tanár
3. Dr. Kroó András, az MTA doktora, tud. fõmunkatárs
4. Dr. Móricz Ferenc, az MTA doktora, egy. tanár
5. Dr. Németh József, kandidátus, egy. docens
6. Dr. Stachó László, kandidátus, egy. docens
7. Dr. Szabados József, az MTA doktora, tud. tanácsadó
8. Dr. Szalay István, kandidátus, fõisk. tanár
9. Dr. Tandori Károly, az MTA rendes tagja, egy. tanár
10. Dr. Totik Vilmos, doktor, egy. tanár
11. Dr. Vértesi Péter, az MTA doktora, tud. tanácsadó

Az analízis alprogram leírása
 

A matematikai analízis kialakulása a XVII. századra tehetõ, s leginkább Newton és Leibniz nevéhez köthetõ. Megszületése és késõbbi fejlõdése szorosan kapcsolódott alapvetõ fizikai problémák megoldását célzó erõfeszítésekhez, mint amilyenek pl. a rezgõ húr mozgásának leírása, a hõvezetési problémák, vagy a XX. században felvetõdõ kvantummechanikai problémák voltak. Alapkategóriái - a függvény, derivált, integrál, konvergencia - az elmélet fejlõdésével fokozatosan kristályosodtak ki, s tisztultak meg a kezdeti misztikus elemektõl, mint amilyen pl. a végtelen kicsiny mennyiségek használata volt. Az alapfogalmak tisztázásában számos kiváló matematikus vett részt, a legnagyobbak közül is csak néhányat említve: Euler, Cauchy, Riemann, Weierstrass. Ha csak az integrál fogalmát tekintjük is, érzékelhetõ a fejlõdés gyors üteme: míg a XIX. századra fõként Riemannak köszönhetõen megszületett a mai értelemben egzakt definíció, addig a XX. század elején Lebesgue már egy ennél is jóval hatékonyabb új integrálfogalomhoz jutott el. Elmondható, hogy mára a matematikai analízis a szerteágazó eredmények igazi kincsestárává vált, mely számtalan ponton - fizikai, kémiai, biológiai, közgazdasági alkalmazásokon keresztül - kapcsolódik a mindennapi gyakorlathoz. A szegedi matematikai iskola megalapítói, Riesz Frigyes és Haar Alfréd mélyreható eredményeikkel a tudományág meghatározó egyéniségei voltak, kisugárzó hatásuk máig érzékelhetõ mind a tudományos kutatásban, mind oktatásunkban. Az alprogram az analízis következõ, Szegeden eredményesen mûvelt ágaiban nyújt képzést:
 
 

1. Approximációelmélet és orthogonális polinomok (témavezetõ: Dr. Totik Vilmos)

2. Funkcionálanalízis (témavezetõ: Dr. Kérchy László)

3. Harmonikus analízis (témavezetõ: Dr. Móricz Ferenc)

4. Ortogonális sorok (témavezetõ: Dr. Leindler László)
 
 

Az analízis doktori programban szereplõ témakörök - Approximációelmélet, Fourier sorok, Funkcionálanalízis, Harmonikus analízis, Ortogonális polinomok, Ortogonális sorok - nagy hazai hagyományokkal rendelkeznek, ugyanakkor e területeken napjainkban is intenzív kutatások folynak, s számos nyitott kérdés vár még megoldásra. A programban résztvevõ szakemberek tudományterületük nemzetközileg elismert mûvelõi, rangos nemzetközi folyóiratok szerkesztõi, külföldi egyetemek gyakori vendégoktatói, nemzetközi konferenciák elõszeretettel felkért elõadói.
 
 
 
 
 
 

Az analízis alprogramhoz kapcsolódó kurzusok
 
 

102. Mérték- és integrálelmélet (2+0)

Mérhetõségi tér, mérhetõ leképezések, a mérték fogalma és tulajdonságai. Pozitív mérhetõ függvény integrálja, lebesgue monoton konvergencia tétele, Fatou lemmája. Integrálható függvények, Lebesgue majoráns konvergencia tétele, nulla mértékû halmazok. A kompakt tartójú folytonos függvények  terén értelmezett pozitív lineáris funkcionálok Riesz-féle elõállítása. A Borel mértékek regularitása. A Lebesgue mérték Rn-en. Luzin és Jegorov tételei. A Hölder- és Minkowski-egyenlõtlenségek. Az  és  függvényterek teljessége. A Hilbert tér fogalma. A zárt konvex halmazok minimáltulajdonsága, ortogonális komplementer, folytonos lineáris funkcionálok. Ortonormált vektorrendszerek, Bessel-egyenlõtlenség, a Riesz-Fisher tétel. Ortonormált bázis, Parseval- azonosság, Hilbert tér dimenziója. Banach terek, korlátos lineáris transzformációk. Banach-Steinhaus tétel, a nyílt leképezések tétele, zárt gráf tétel. A Hahn-Banach-féle kiterjesztési tétel.

Kötelezõ irodalom: 39

Ajánlott irodalom: 47
 
 
 
 

221. Fejezetek a komplex függvénytanból (2+1)

Riemann-féle számgömb. Lineáris függvények. A Bolyai-Lobacsevszkij-féle sík Poincaré-féle modellje. Riemann-felületek. Függvény viselkedése a végtelen távoli pontban. Holomorf függvény inverze. A reziduumszámítás alkalmazásai határozott integrálok kiszámítására. A $\cot g\pi z$ függvény felbontása parciális törtek összegére. Egész függvények szorzatelõállítása. Gamma-függvény.

Kötelezõ irodalom: 39

Ajánlott irodalom: 48
 
 
 
 

222. Függvényterek és duálisaik (2+1)

Komplex mértékek, a teljes változás mérték, Jordan felbontás. Abszolút folytonos és szinguláris mértékek, a Lebesgue-Randon-Nikodym tétel. Polárfelbontás, Hahn tétele.  korlátos lineáris funkcionáljai. Banach terek reflexivitása. Riesz reprezentáció tétele  duálisáról. Mérhetõség szorzattereken, a szorzatmérték. Fubini tétele, függvények konvolúciója. Rn Borel mértékeinek differenciálása. Korlátos változású függvények az egyenesen, kapcsolatuk a Borel mértékekkel. A differenciálás és az integrálás kapcsolata az egyenesen értelmezett függvények körében. A parciális integrálás tétele. Helyettesítéssel való integrálás Rn-en.

Kötelezõ irodalom:39

Ajánlott irodalom: 47
 
 
 
 

223. Bevezetés az approximációelméletbe (3+2)

Approximáció pozitív operátorokkal, Korovkin tétele. Weierstrass és Weierstrass-Stone tétel. Folytonossági és simasági modulusok, Jackson tétel, direkt tételek. Deriváltak becslése, Bernstein tétel és az approximációelmélet inverz tételei. Legjobban közelítõ polinomok jellemzése, extrémális szignatúrák. Lp-approximáció. Bernstein polinomok naturációja, parabola módszer.

Kötelezõ irodalom: 32, 33

Ajánlott irodalom: 1, 34
 
 
 
 

224. Fourier-sorok I (2+0)

A konvergencia és szummálhatóság klasszikus elmélete. Konjugált sor és konjugált függvény. A Hardy-féle Hp-terek, Riesz Frigyes és Marcel tétele. Operátorok interpolációja: a Riesz-Thorin tétel és Marcinkiewicz tétele. A Haardy-Littlewood-féle maximálfüggvény, Hilbert transzformált, Calderon-Zygmund-féle felbontás.

Kötelezõ irodalom: 56

Ajánlott irodalom: 4, 18, 29, 52
 
 
 
 

320. Hilbert terek, Banach terek és operátoraik I (2+0)

Hilbert terek geometriája, izomorfiája. A spektráltétel kompakt normális operátorokra. Banach terek geometriája, faktorterek, szorzatterek. Duális tér, reflexivitás. A Hahn-Banach-féle kiterjesztési tétel és következményei, Banach limesz, Runge tétele. A nyílt leképezések tétele és a zárt gráf tétel. A Banach- Steinhaus tétel. Lokálisan konvex topológikus vektorterek. A metrizálhatóság és normálhatóság feltételei. A Hahn-Banach-féle szétválasztási tételek. Gyenge topológiák. Alaoglu tétele, a reflexivitás jellemzése. A Krein-Milman és Krein-Smulian tételek. Korlátos lineáris operátorok Banach terekben, adjungálás. Kompakt operátorok, valódi invariáns altér létezése.
 
 
 
 

321. Hilbert terek, Banach terek és operátoraik II (2+1)

Banach algebrák, spectrum, spektrálsugár. Analitikus függvényekkel értelmezett függvénykalkulus. Korlátos lineáris operátor spektruma. A kompakt operátorok Riesz-féle spektrálelmélete. Kommutatív Banach algebrák, Gelfand transzformáció. C*-algebrák. Folytonos függvényekkel értelmezett függvénykalkulus normális elemekre. Pozitív elemek. C*-algebrák operátoralgebraként való reprezentációja, a Gelfand-Naimark-Segal-féle konstrukció. Hilbert tér korlátos, normális operátorainak spektrális felbontása. Függvénymodell és korlátos mérhetõ függvényekkel értelmezett függvénykalkulus normális operátorokra. Kommutatív Neumann algebrák. A normális operátorok osztályozása, multiplicitáselmélet. Nem-korlátos operátorok Hilbert tereken. Szimmetrikus és önadjungált operátorok, a Cayley transzformáció. A spektráltétel nem-korlátos normális operátorokra. Egyparaméteres unitér csoportok, Stone tétele. Fredholm operátorok, a Fredholm index. Operátor lényeges spektruma.

Kötelezõ irodalom: 13

Ajánlott irodalom: 11, 16, 22, 35, 38, 40
 
 
 
 

322. Hilbert térbeli kontrakciók I (2+1)

Izometriák Wold-féle felbontása. Szõkefalvi-Nagy Béla dilatációs tétele egy kontrakcióra. Dilatációs tételek felcserélhetõ kontrakciók rendszereire. Unitér-dilatációk. A minimális unitér dilatáció szerkezete,reziduális és *-reziduális rész. A kommutáns dilatációja, "lifting'' tételek. Az iteráltak aszimptotikus viselkedése szerinti triangularizáció. Kvázihasonlóság, hyperinvariáns alterek, a  kontrakcióosztály. A minimális unitér dilatáció spektrális tulajdonságai. A Hardy-féle  függvényosztály elemeivel értelmezett függvénykalkulus. A  kontrakcióosztály, a minimálfüggvény és a spektrum kapcsolata, hyperinvariáns alterek. Kvázihasonlósági modell -kontrakciókra, reflexivitás.
 
 
 
 

323. Hilbert térbeli kontrakciók II (2+1)

Operátor-értékû analitikus függvények. Belsõ és külsõ függvények, faktorizációs tételek. Skaláris többszörös. Kontrakció karakterisztikus függvénye. Kontrakciók unitér ekvivalens függvénymodellje. A karakterisztikus függvény és a spektrum kapcsolata. Kontrakció invariáns altereinek jellemzése a karakterisztikus függvény reguláris faktorizációival. -kontrakciók invariáns alterei. Gyenge kontrakciók.

Kötelezõ irodalom: 49

Ajánlott irodalom: 8, 20, 26
 
 
 
 

324. Erõs szummáció és approximáció I (2+1)

Hardy-Littlewood tétel, Marcinkiewicz és Zygmund tételei. Alexits problémája és társszerzõs eredményei, erõs approximáció nagyságrendje. Függvények strukturális tulajdonságai, amelyek az erõs approximáció nagyságrendjébõl adódnak. Erõs és legjobb approximáció kapcsolata. Függvényosztályok és Fourier sorokkal való approximáció. Nagyon erõs és kevert approximáció.
 
 
 
 

325. Erõs szummáció és approximáció II (2+1)

Ortogonális sorok erõs szummációja. Ortogonális sorokkal való erõs approximáció, extra erõs approximáció, erõs approximáció nagy kitevõkkel. Ortogonális sorok erõs és nagyon erõs szummációja és approximációja speciális összegzési módszerekkel (pl. Abel, Ces`aro, Euler, Hausdorff). Határesetek az erõs approximációban. Kapcsolat a rendes és erõs approximáció között ortogonális sorok esetén.

Kötelezõ irodalom: 31, 32

Ajánlott irodalom: 41, 56
 
 
 
 

326. Ortogonális sorok konvergenciája és szummációja I (2+1)

Általános és speciális ortogonális sorok, Ortogonális polinomok, Reguláris szummációs módszerek, Konvergencia és szummációs kritériumok, Mindenütt divergens ortogonális sorok, Ortogonális sorok feltételnélküli konvergenciája, Ortogonális sorok abszolút konvergenciája és szummációja.
 
 
 
 

327. Ortogonális sorok konvergenciája és szummációja II (2+1)

Mensov-tételek, Lebesgue-függvények szerepe konvergencia és szummációs problémákban, Walsh-sor, Ortogonális sorok erõs szummációja, Abszolút szummálhatósági faktorok, Függvényosztályok beágyazási feltételei, Integrálhatósági tételek hatvány- és Dirichlet-sorokra, Együtthatófeltételek kapcsolatairól, Ortogonális sorok közepeivel való approximáció, Strukturális feltételek konvergenciára és szummációra.

Kötelezõ irodalom: 3, 28

Ajánlott irodalom: 34, 53
 
 
 
 

328. Trigonometrikus sorok I (2+1)

Trigonometrikus rendszer és trigonometrikus sorok, Fourier sor, Egyenlõtlenségek, Konvex függvények, Hardy és Littlewood maximál tételei, Folytonossági modulusok, Fourier együtthatók nagyságrendje, Részletösszekekre vonatkozó formulák, Dirichlet-Jordan kritérium, Gibbs-jelenség, Lebesgue konstansok.
 
 
 
 

329. Trigonometrikus sorok II (2+1)

Összegzési módszerek, Gibbs-jelenség a -szummáció esetén, Approximáció trigonometrikus polinomokkal, Konjugált függvény létezése, Függvényosztályok és Fourier sorok, Multiplikátorok, Speciális trigonometrikus sorok.

Kötelezõ irodalom: 56

Ajánlott irodalom: 4, 10
 
 
 
 

330. Egyenlõtlenségek, numerikus approximáció (2+1)

Klasszikus és új egyenlõtlenségek sorokra és integrálokra, Hardy-Littlewood- típusú egyenlõtlenségek, Coopson-egyenlõtlenségek, G. Bennett egyenlõtlenségei, Bizonyos fordított Hölder egyenlõtlenségek sorokra és integrálokra, Bernoulli- típusú egyenlõtlenségek, Egyenlõtlenségek blokkokkal és általánosított "kitevõkkel'', Numerikus approximációs módszerek.

Kötelezõ irodalom: 6, 23

Ajánlott irodalom: 53, 56
 
 
 
 

331. Fourier-sorok II (2+1)

Abszolút konvergencia, Wiener és Lévi tételei. Egyenletes konvergencia, Bernstein tétele. Divergencia, Kolmogorov tétele. Konvergencia és szummálhatóság majdnem mindenütt, erõs szummálhatóság és approximáció. Függvényosztályok jellemzése. Trigonometrikus sorok integrálhatósága, multiplier-ek elmélete. Littlewood-Paley-féle függvények, Marcinkiewicz multiplier tétele.

Kötelezõ irodalom:56

Ajánlott irodalom: 4, 18, 29, 52
 
 

332. Fourier-integrálok I (2+0)

-beli függvények Fourier-transzformációja, konvergencia és szummálhatóság, Riesz-féle közepek, Poisson-féle integrálok, az egység approximációja, a Fourier-transzformált -integrálhatósága, multiplier-ek. -beli függvények Fourier-transzformációja, Plancherel tétele, konvergencia és szummálhatóság. -beli függvények Fourier-transzformációja, 1<p<2, a Hausdorff-Young-féle egyenlõtlenség, a konvolúció-tétel.
 
 
 
 

333. Fourier-integrálok II (2+1)

A Hilbert transzformált, konjugált integrál, Lipschitz függvényosztály. A Littlewood-Paley-féle elmélet és multiplier-ek, a g-függvény, diadikus felbontás, Marcinkiewicz multiplier tétele. Alkalmazások differenciál és integrálegyenletekre, Laplace és Mellin-transzformáció.

Kötelezõ irodalom: 44, 51

Ajánlott irodalom: 21, 43
 
 
 
 

334. Modern függvényterek (2+1)

A Hardy-féle  terek az egységkörlemezen és a felsõ félsíkon, harmonikus függvények, a Riesz-féle faktorizációs és Helson-Szegõ tételek, atomos felbontások, duális terek. Valós, BMO és gyenge  terek, a Peetre-féle K-funkcionál. A Lipschitz-féle  Sobolev-féleés Besov-féle ,q terek.

Kötelezõ irodalom: 54

Ajánlott irodalom: 7, 9, 17, 30, 36
 
 
 
 

335. Harmonikus analízis Euklidészi tereken I (2+1)

Többszörös Fourier-sorok és transzformációk, lokalizációs kérdések, szummálhatóság, kritikus index. A Hardy-Littlewood-féle maximálfüggvény, Calderon-Zygmund-féle felbontás, az éles maximálfüggvény. Harmonikus függvények határon felvett értékei, Riesz-féle közepek, Poisson-féle integrálok, nemérintõleges konvergencia, az egység approximációja, Fatou tétele, a terület integrál.
 
 
 
 

336. Harmonikus analízis Euklidészi tereken II (2+1)

Függvényterekre vonatkozó differenciálhatósági tulajdonságok, Riesz és Bessel- féle potenciálok, Sobolev, Lipschitz és Besov-féle terek. Riesz-Thorin és Marcinkiewicz interpolációs tételei, a Peetre-féle K-funkcionál. Szinguláris integrálok páratlan, illetve páros magfüggvénnyel, a Hilbert transzformált, konjugált harmonikus függvények rendszere. A Littlewood-Paley-féle elmélet és multiplier-ek.

Kötelezõ irodalom: 44

Ajánlott irodalom: 7, 9, 21, 43
 
 
 
 

337. Ortogonális polinomok I (3+1)

Mértékek és ortogonális rendszerek; ortogonális polinomok; rekurziós együtthatók; differenciálegyenletek; zéróhelyek; Gauss kvadratúra; generátor függvények; klasszikus ortogonális polinomok; ortogonális polinomok a körön és kapcsolatuk valós polinomokkal; Szegõ elmélet.
 
 
 
 

338. Ortogonális polinomok II (2+0)

A potenciálelmélet alapjai; általános ortogonális polinomok; n-gyök aszimptotikák; reguláris mértékek és jellemzéseik; Freud polinomok; ortogonális polinomok nem korlátos rekurziós együtthatókkal.

Kötelezõ irodalom: 42

Ajánlott irodalom: 19, 46
 
 
 
 

339-340. Fejezetek az approximációelméletbõl I-II (2+1)

Approximáció operátorokkal; polinom approximáció; Müntz témakör; legjobb megközelítések; unicitás; egyoldalú approximáció; súlyozott approximáció; változó súlyokkal történõ approximáció; spline-ok; többváltozós problémák; radiális függvények; waveletek; diadikus analízis; szignál analízis; konvolúciós eljárások; nemlineáris approximáció; interpoláció; kvadratúrák; lánctörtek; momentum problémák.

Kötelezõ irodalom: 14, 33

Ajánlott irodalom: 1, 2, 15, 34, 50
 
 
 
 

341. Racionális és komplex approximáció (2+0)

Polinomok a komplex síkon, Bernstein és Mergelian tételei; racionális függvények a komplex síkon, Runge tétel; Padé approximáció, Gonchar és Nuttall tételei; valós racionális approximáció és kapcsolata spline-approximációval; Pekarskii tételei; interpoláció.

Kötelezõ irodalom: 37

Ajánlott irodalom: 32
 
 
 
 

342. Operátor-approximáció (2+0)

Pozitív operátorok; K-funkcionálok, -modulusok; a direkt approximáció tételei; inverz tételek; szaturáció; operátorok kombinációi; többváltozós operátorok; erõs inverz tétel Bernstein polinomokra.

Kötelezõ irodalom: 14

Ajánlott irodalom: 32, 33
 
 
 
 

343. Polinom-approximáció (2+0)

Trigonometrikus polinomok; Nikolskii témakör; Dzjadik inverz tételei; legjobb algebrai polinom-approximáció karakterizációja a -modulus segítségével; diszkrét operátorok; potenciálelmélet és polinomok; változó súlyokkal történõ approximáció; ortogonális polinomok és súlyozott polinomapproximáció; Müntz témakör és általánosításai.

Kötelezõ irodalom: 15, 50

Ajánlott irodalom: 1, 19, 26, 34
 
 
 
 

344. Unicitási problémák (2+0)

Csebisev tételei; extremális szignatúrák, Kolmogorov tétele; legjobb megközelítés -ben; egyoldalú approximáció unicitása; absztrakt terek, csillagok.

Kötelezõ irodalom: 50

Ajánlott irodalom: 53
 
 
 
 

345. n-width-ek (2+0)

Approximáció absztrakt terekben; Borsuk tétel; különféle n-width-ek és kapcsolatuk; becslések; a valószínûségszámítási módszer, Kasin tétele; projekciók.

Kötelezõ irodalom: 33

Ajánlott irodalom: 14, 32
 
 
 
 

346. Fraktálok és waveletek (2+1)

Iterált rendszerek és limeszeik; törtdimenzió; fraktálok; reprezentáció; ortogonális rendszerek és Haar rendszer; waveletek, Daubechie konstrukciója; multirezolúciós analízis; képösszenyomás; nemlineáris approximáció.

Kötelezõ irodalom: 5, 12

Ajánlott irodalom: 17
 
 
 
 

347. Speciális függvények (3+0)

Ortogonális polinomok és lánctörtek; hipergeometrikus függvények; differenciálegyenletek; generátorfüggvények; zéróhelyek; addíciós képletek; ortogonális polinomok aszimptotikája; q-sorok és speciális függvények; diszkrét ortogonális polinomok; gyökrendszerek; kombinatorika.

Kötelezõ irodalom: 46

Ajánlott irodalom: 19
 
 
 
 

348. Potenciálelmélet és alkalmazásai (2+0)

Logaritmikus potenciálok; szuperharmonikus függvények; Riesz reprezentációs tétel; elvek; egyensúlyi mértékek és potenciálok; potenciálok külsõ térben; Riesz potenciálok; alkalmazások.

Kötelezõ irodalom: 24

Ajánlott irodalom: 55
 
 
 
 

349. Interpolációelmélet (2+0)

Lagrange interpoláció; Lebesgue függvény; divergencia; optimális alappontok; Hermite interpoláció; Hermit-Fejér interpoláció; analitikus függvények interpolációja.

Kötelezõ irodalom: 45

Ajánlott irodalom: 56
 
 
 
 

Kötelezõ és ajánlott irodalom

1. N.I. Akhiezer: Lectures on the theory of approximation

2. N.I. Akhiezer: The classical moment problem

3. G. Alexits: Convergence problems of orthogonal series

4. N.K. Bari: Trigonometric series

5. M. Barnsley: Fractals everywhere

6. E.F. Beckenbach-R. Bellman: Inequalities

7. C. Bennett-R. Sharpley: Interpolation of operators

8. H. Bercovici: Operator theory and arithmetic in 

9. O.V. Besov-V.P. Il'in-S.M. Nikolskii: Integral representations of functions and embedding theorems

10. R.P. Boas: Integrability theorems for trigonometric transforms

11. F.F. Bonsall-J. Duncan: Complete normed algebras

12. C.K. Chui: Wavelets

13. J.B. Conway: A course in functional analysis

14. R. DeVore: Approximation by positive operators

15. Z. Ditzian-V. Totik: Moduli of smoothness

16. N. Dunford-J. Schwartz: Linear operators

17. P.L. Duren: Theory of  spaces

18. R.E. Edwards: Fourier series

19. G. Freud: Orthogonal polynomials

20. C. Foias-A.F. Frazho: The commutant lifting approach to interpolation problems

21. J. García-Cuerva-J.L. Rubio de Francia: Weighted norm inequalities and related topics

22. P.R. Halmos: A Hilbert space problem book

23. G.H. Hardy-J.E. Littlewood-G. Pólya: Inequalities

24. L.L. Helms: Introduction to potential theory

25. E. Hille-R.S. Phillips: Functional analysis and semigroups

26. K. Hoffmann: Banach spaces of analytic functions

27. L. Jaconsen-O. Nostrad: Continued fractions

28. S. Kaczmarz-H. Steinhaus: Theory of orthogonal series

29. Y. Katznelson: An introduction to harmonic analysis

30. P. Koosis: Introduction to  spaces

31. L. Leindler: Strong approximation by Fourier series

32. G.G. Lorentz: Approximation of functions

33. G.G. Lorentz-R. DeVore: Approximation theory

34. I.P. Natanson: Constructive function theory

35. G.K. Pedersen: Analysis now

36. I. Peetre: New thoughts on Besov spaces

37. P. Petrushev-V. Popov: Rational approximation

38. F. Riesz-B. Szõkefalvi-Nagy: Functional analysis

39. W. Rudin: Real and complex analysis

40. W. Rudin: Functional analysis

41. S.R. Siha: Summability methods and their applications

42. H. Stahl-V. Totik: General orthogonal polynomials

43. E.M. Stein: Singular integrals and differentiability properties of functions

44. E. Stein-G. Weiss: Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces

45. J. Szabados-P. Vértesi: Interpolation theory

46. G. Szegõ: Orthogonal polynomials

47. Szõkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok

48. Szõkefalvi-Nagy Béla: Komplex függvénytan

49. B. Szõkefalvi-Nagy-C. Foias: Harmonic analysis of operators on Hilbert spaces

50. M. Timan: The approximation of real functions

51. E.C. Titchmarsh: Introduction to the theory of Fourier integrals

52. A. Torchinsky: Real variable methods in harmonic analysis

53. H. Triebel: Interpolation theory, function spaces, differential operators

54. H. Triebel: Theory of function spaces II

55. M. Tsuji: Potential theory in modern function theory

56. A. Zygmund: Trigonometric series

Az alprogram vezetõje: Hatvani László, az MTA levelezõ tagja, Bolyai Intézet, egyetemi tanár

Az alprogramhoz tartozó témakörök közös jellemzõje, hogy egyaránt tartoznak az elméleti és az alkalmazott matematikához, valamint mindkettõ az analízissel áll legszorosabb kapcsolatban. Ugyanakkor viszonylagos függetlenségük lehetõvé teszi külön-külön történõ bemutatásukat.
 
 
 
 

1. Dinamikus rendszerek és alkalmazásaik alprogramrész
 
 

Témavezetõ: Hatvani László, az MTA levelezõ tagja, Bolyai Intézet, egyetemi tanár

Közremûködõ vezetõ oktatók:

Balla Katalin, kandidátus, MTA SZTAKI, tud. fõmunkatárs

Benedict Mihály, kandidátus, JATE, Elméleti Fizika Tanszék, egy. docens

Fehér László, az MTA doktora, Bolyai Intézet, egy. docens

Gyémánt Iván, kandidátus, JATE, Elméleti Fizika Tanszék, egy. docens

Gyõri István, az MTA doktora, Veszprémi Egyetem, egyetemi tanár

Hegedûs Jenõ, kandidátus, Bolyai Intézet, egy. docens

Krámli András, az MTA doktora,Bolyai Intézet, egyetemi tanár

Krisztin Tibor, kandidátus, Bolyai Intézet, egy. docens

Terjéki József, kandidátus, Bolyai Intézet, egy. docens
 
 
 
 

A dinamikus rendszerek és alkalmazásaik alprogramrész leírása
 
 

A differenciálegyenletek elméletében a múlt század végén, H. Poincaré és A.M. Ljapunov munkásságával indultak meg a kvalitativ vizsgálatok, amelyeknek célja a megoldások lényeges tulajdonságainak (korlátosság, oszcilláció, stabilitás,...) közvetlenül az egyenletekbõl történõ, a megoldások explicit ismeretét nem feltételezõ meghatározása. Ezekbõl jött létre a különbözõ egyenlettípusoktól való elvonatkoztatás és a megoldások alaptulajdonságainak axiomatizálása útján a dinamikus rendszerek elmélete. A folyamatok aszimptotikus (az idõ nagy értékeire vonatkozó) jellemzése szempontjából meg kell különböztetni a konzervatív és nem-konzervatív rendszereket. A nem-konzervatív rendszerekben olyan aszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzetek, illetve periodikus megoldások, attraktorok megkeresése a cél, amelyekhez a többi megoldás konvergál. A konzervatív rendszerekben aszimptotikus stabilitás nincs, ott metrikus vizsgálatokkal ergodikus tulajdonságokat bizonyítanak. A Bolyai Intézetben a dinamikus rendszerekkel foglalkozó csoport elsõsorban a nem- konzervatív rendszerek mozgásainak aszimptotikus viselkedésével (stabilitás, oszcilláció) foglalkozik közönséges, parciális és funkcionál- differenciálegyenletekre vonatkozóan. Ilyen egyenletek adják különbözõ tudományágak (fizika, biológia, populációdinamika, ökológia, kémia, közgazdaságtan,...) idõben zajló folyamatainak matematikai modelljeit, ezért különös figyelmet fordítunk az ezekben felmerülõ problémákra, a dinamikus rendszerekre nyert eredményeknek ezen területekre történõ alkalmazásaira. A meghirdetendõ programban - a MTA Matematikai Kutató Intézetének statisztikus fizikát mûvelõ kutatóinak bevonásával - lehetõséget biztosítunk a konzervatív rendszerek elméletével való megismerkedésre is.
 
 
 
 

A dinamikus rendszerek és alkalmazásaik alprogramrészhez kapcsolódó kurzusok
 
 

231-232. Közönséges differenciálegyenletek I-II (2+0, 2+0)

Differenciálegyenletek sokaságokon. Egzisztencia- és unicitástételek. Differenciálegyenletek végtelen dimenziós terekben. Lineáris rendszerek. Infinitezimális generátor. Integrálsokaságok. Linearizálás, Hartman-Grobman-tétel. Perturbációelmélet. Nem-autonóm rendszerek. Periodikus és majdnem periodikus egyenletek. A közepelés módszere. Peremértékproblémák. Sturm-Liouville-elmélet. Másodrendû egyenletek, oszcilláció. Határhalmazok, határciklusok. Poincaré-Bendixson-tétel. Stabilitás, Ljapunov-módszer. Invariancia-elv. Elsõrendû parciális differenciálegyenletek. Hamilton-Jacobi-elmélet.

Kötelezõ irodalom:

V.I. Arnold, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, 1992.

J.K. Hale, Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, 1969.

Ajánlott irodalom

D.V. Anosov, V.I. Arnold, Dynamical Systems I, Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1991.

Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, Birkhäuser, 1982.

M.A. Naimark, Linear Differential operators, Nauka, 1969 (in Russian).

V.V. Nemytskii, V.V. Stepanov, Qualitative Theory of Differential Equations, Dover Publications, 1954.

J. Palis, W. DeMelo, Geometric Theory of Dynamical Systems, Springer- Verlag, 1982.

V.A. Pliss, Integral Manifolds of Periodic Systems of Differential Equations, Nauka, 1977 (in Russian).
 
 
 
 

233. Parciális differenciálegyenletek I (2+0)

Disztribuciók. Szoboljev terek. Disztribuciók Fourier-transzformációja. Parciális differenciálegyenletek fundamentális megoldásai. Parciális differenciáloperátorok. Klasszikus és általánosított megoldások. Hipoelliptikus differenciáloperátorok. Korrekt kitûzésû feladatok féltérben lineáris parciális differenciálegyenlet-rendszerre. Elliptikus, hiperbolikus, parabolikus parciális differenciálegyenletekre kitûzött perem- érték- ill. vegyes feladatok egzisztencia-, unicitás-, stabilitásvizsgálata Szoboljev-terekben.

Kötelezõ irodalom

V. Sz. Vlagyimirov, Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Mûszaki Könyvkiadó, 1979.

Ajánlott irodalom

J.K. Hale, Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, AMS, 1986.

O.A. Ladyzhenskaya, The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Springer-Verlag, 1985.

I. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1986.
 
 
 
 

234-235. Dinamikus rendszerek I-II (2+0, 2+0)

Invariáns sokaságok létezése, símasága. Véges és végtelen dimenziós eset. Viselkedés fixpont és periodikus pálya környezetében. Linearizálás. Orbitális stabilitás. Poincaré-leképezések. átlagolás. Limeszhalmazok. Aszimptotikusan síma leképezések és félcsoportok. -kontraktív félcsoportok. Invariáns halmazok stabilitása. Disszipativitás. Globális attraktorok. Fixpont tételek. Morse-Smale leképezések. A globális attraktor dimenziója. Periodikus folyamatok. Gradiens rendszerek. Példák: retardált differenciálegyenletek, neutrális differenciálegyenletek, parabolikus és hiperbolikus parciális differenciálegyenletek.

Kötelezõ irodalom

M. Hirsch and S. Smale, Differential Equations, Dynamic Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974.

J. Palis, W. DeMelo, Geometric Theory of Dynamical Systems: an Introduction, Springer-Verlag, 1982.

Ajánlott irodalom

J. Guckenheimer and P.J. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, 1983.

J. Hale, L. Magalhaes, W. Oliva, An Introduction to Infinite Dimensional Dynamical Systems-Geometric Theory, Springer-Verlag, 1984.

J. Hale, Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, AMS, 1986.

D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer-Verlag, 1981.

M. Hirsch, C. Pugh, M. Shub, Invariant Manifolds, Springer-Verlag, 1977.

V.V. Nemytskii, V.V. Stepanov, Qualitative Theory of Differential Equations, Dover Publications, 1954.
 
 
 
 

360-361. Funkcionál-differenciálegyenletek I-II (2+0, 2+0)

A fázistér, trajektóriák és a megoldások absztrakt elmélete. Egzisztencia- és unicitás- tételek. A kezdeti adatoktól való folytonos függés. A közönséges egyenletek körében szokatlan jelenségek. A megoldások folytathatósága, kompaktsága. Lineáris funkcionál-differenciálegyenletek. Oszcillációs kérdések elsõ és másodrendû egyenletekre. Stabilitás. Integro-differenciálegyenletek. Neutrális egyenletek. Autonóm egyenletek geometriai elmélete. Periodikus megoldások létezése. Biológiai, mechanikai és egyéb alkalmazások.

Kötelezõ irodalom

J. Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer- Verlag, 1977.

Ajánlott irodalom

T.A. Burton, Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations, Academic Press, 1985.

G. Gripenberg, S.-O. Londen, O. Staffans, Volterra Integral and Functional Equations, Cambridge University Press, 1990.

Y. Hino, S. Murakami, T. Naito, Functional Differential Equations with Infinite Delay, Springer-Verlag, 1991.

V.B. Kolmanovskii, V.R. Nosov, Stability of Functional Differential Equations, Academic Press, 1986.

S.H. Saperstone, Semidynamical Systems in Infinite Dimensional Spaces, Springer-Verlag, 1981.
 
 
 
 

362. Parciális differenciálegyenletek II (2+0)

Integrálegyenletek. Potenciálelmélet. Elliptikus, hiperbolikus, parabolikus (változó együtthatós) parciális differenciálegyenletek speciális kérdései: egzisztencia, unicitás, stabilitás; kis és nagy-paraméteres egyenletek aszimptotikus megoldásai. Pszeudo-differenciáloperátorok, Fourier-integráloperátorok. Szingularitások terjedése.

Kötelezõ irodalom

A. Haraux, Nonlinear Evolution Equations-Global Behavior of Solutions, Springer-Verlag, 1981.

Ajánlott irodalom

S.G. Krein, Linear Differential Equations in Banach Spaces, Nauka, 1967 (in Russian).

L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, I-IV, Springer-Verlag, 1983-85.

S.A. Lomov, Introduction to the Theory of Singular Perturbations, Nauka, 1981 (in Russian).

B.R. Vainberg, Asymptotic Methods of the Equations of Mathematical Physics, Moscow State Univ., 1982 (in Russian).
 
 
 
 

363-364. Stabilitáselmélet I-II (2+0, 2+0)

Ljapunov-féle stabilitás és aszimptotikus stabilitás. Lineáris rendszerek stabilitása. Ljapunov-kitevõk, spektrum. Szabályos rendszerek. Stabilitás elsõ közelítés alapján; kritikus esetek. Bifurkációk. Dichotómia. Ljapunov direkt módszere. Invariancia-elv autonóm rendszerekre. Barbasin-Kraszovszkij-tételek és alkalmazásaik. Nem-autonóm rendszerek; lokalizációs tételek a határhalmazokra. Periodikus megoldás stabilitása autonóm és nem-autonóm rendszerekben; Poincaré-leképezések. Egyensúlyi helyzet és stacionárius mozgás stabilitása a mechanikában. Parciális stabilitás. Strukturális stabilitás. Lokális strukturális stabilitás. Invariáns sokaságok, transzverzalitás. Generikus tulajdonságok. Hiperbolikus zárt trajektóriák, Kupka-Smale-tétel. Morse-Smale típusú vektormezõk.

Kötelezõ irodalom

N. Rouche, P. Habets, M. Laloy, Stability Theory by Liapunov's Direct Method, Springer-Verlag, 1977.

T. Yoshizawa, Stability Theory by Lyapunov's Second. Method, Math. Soc. Japan, 1966.

Ajánlott irodalom

B.F. Bylov, R.E. Vinograd, D.M. Grobman, V.V. Nemytskii, Theory of Lyapunov Exponents, Nauka, 1966 (in Russian).

W.A. Coppel, Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations, D.C. Heath and Company, 1965.

Ju. L. Daletskii, M.G. Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, Nauka, 1970 (in Russian).

B.P. Demidovich, Lectures on Mathematical Theory of Stability, Nauka, 1967 (in Russian).

V.B. Kolmanovskii, V.R. Nosov, Stability of Functional Differential Equations, Academic Press, 1986.

N.N. Krasovskii, Stability of Motion, Stanford University Press, 1963.

V. Lakshmikantham, S. Leela, Differential and Integral Inequalities, I-II, Academic Press, 1969.

J.P. LaSalle, The Stability of Dynamical Systems, SIAM, 1976.
 
 
 
 

365-366. Bifurkációelmélet, káosz I-II (2+0, 2+0)

Lokális bifurkációk: központi sokaságok, normál-formák, fixpontok 1-kodimenziós bifurkációi, leképezések és periodikus pályák 1-kodimenziós bifurkációi. Poincaré-leképezések. átlagolás. Melnyikov módszere: kétdimenziós homoklinikus pályák perturbációi, szubharmonikus pályák és Hamilton-rendszerek perturbációi. A Smale-féle patkó. Szimbolikus dinamika. A Conley-Moser-feltételek. Globális bifurkációk: homoklinikus bifurkációk, 2-kodimenziós lokális bifurkációkból adódó globális bifurkációk. Ljapunov kitevõk. Káosz. Globális attraktorok.

Kötelezõ irodalom

V.I. Arnold, A differenciálegyenletek elméletének geometriai fejezetei, Mûszaki Könyvkiadó, 1988.

J. Guckenheimer, P.J. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, 1983.

Ajánlott irodalom

S.-N. Chow, J.K. Hale, Methods of Bifurcation Theory, Springer-Verlag, 1982.

S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag, 1990.

S. Wiggins, Global Bifurcations and Chaos, Springer-Verlag, 1988.
 
 
 
 

367. Bevezetés az irányításelméletbe (2+0)

Az irányításelmélet alapfeladatának matematikai megfogalmazása. A variációszámítással való összefüggés. Lineáris optimálisirányítás-elmélet. Egzisztencia-tételek konvexségi feltételekkel. A maximum-elv lineáris egyenletekre. Az optimális irányítás létezése nem-konvex esetben. Maximum elv a nem lineáris esetre. Másodrendû rendszerekre való alkalmazás. Optimális szabályozás Kraszovszkij módszerével. Alkalmazások. Szimmetrikus rakéták optimális szabályozásáról. Adaptív rendszerek.

Kötelezõ irodalom:

E.B. Lee, L. Markus, Foundations of Optimal Control Theory, Wiley, 1966.

Ajánlott irodalom

L.D. Berkovitz, Optimal Control Theory, Springer-Verlag, 1974.

V.N. Fomin, A.L. Fradkov, B.A. Yakubovich, Adaptive Control of Dynamical Objects, Nauka, 1981.
 
 
 
 

368. Differenciálegyenletek alkalmazásai (2+0)

Mechanikai alkalmazások. Szputnyik, pörgettyû stabilitása. Rezgések ellenálló közegben. Giroszkópok, egyvágányú vasút. Változó fonalhosszúságú inga. Paraméterrezonancia. Elektromos áramkörök dinamikája. Betatron stabilitása. Folyadékot tartalmazó üreges testek mozgása, stabilitása. A szökõár modellje, haladó hullámok. Problémák a kémiai reakciókinetikából. Hõreaktorok, nukleáris reaktorok. Reakció-diffúzió-egyenletek. Biológiai oszcillátorok. Immunológiai modellek. Populációdinamika. Kompetitív és kooperatív együttélés. Járványterjedés; az AIDS modelljei. Folyók szennyezõdése. Közlekedési modellek. Automatikus irányítás, feedback. Regulátorok stabilitása. Pilóta-automata. Közgazdasági alkalmazások. A makrogazdaság Leontief-féle modellje. Hicks és Samuelson elmélete az egyensúly stabilitásáról.

Ajánlott irodalom

V.I. Arnold, Az elméleti mechanika matematikai alapjai, Mûszaki Könyvkiadó, 1989.

E. Beltrami, Mathematics for Dynamic Modeling, Academic Press, 1987.

M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer- Verlag, 1975.

Differential Equation Models, Edited by M. Braun, C.S. Coleman D.A. Drew, Springer-Verlag, 1978.

Life Science Models, Edited by H. Marcus-Roberts, M. Thompson, Springer-Verlag, 1976.

Modules in Applied Mathematics, Edited by W.F. Lucas, Springer-Verlag, 1976.

J.D. Murray, Lectures on Nonlinear-Differential-Equation Models in Biology, Cherendon Press, 1977.
 
 
 
 

369. Differenciálegyenletek numerikus módszerei (3+0)

a) Közönséges differenciálegyenletek. Kezdetiérték-problémák. Runge-Kutta, extrapolációs, többlépéses és általános lineáris módszerek. Rend, konvergencia, hibabecslés, stabilitás. Stiff-típusú feladatok. Retardált argumentumú egyenletek. Szinguláris perturbáció. Peremérték-problémák. Kezdetiérték-típusú módszerek. Végesdifferencia-módszerek. Konzisztencia, stabilitás, konvergencia. Differenciális és diszkrét faktorizáció. Sajátértékfeladatok.
 
 

b) Parciális differenciálegyenletek. Differencia-módszerek (rácsmódszer) peremértékproblémákra, Cauchy-problémákra, vegyes feladatokra. Egyenesek módszere. Gyors Fourier-módszer. Ritz-Galerkin-módszer. Végeselem-módszer.

Kötelezõ irodalom

A.A. Samarskii, introduction to the Theory of Numerical Methods, Nauka, 1982 (in Russian).

Ajánlott irodalom

E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations. I. Springer-Verlag, 1987.

Hans J. Stetter, Analysis of Discretization Methods for Ordinary Differential Equations. Springer-Verlag, 1973.

E. Griepentrog, R. M\"arz, Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment. Teubner Texte zur Mathematik 88. Teubner, 1986.

G.I. Marchuk, Method of Numerical Mathematics, Springer-Verlag, 1975.

R.E. O'Malley, Jr., Singular Perturbation Methods for Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, 1991.

Stiff Computation. Ed.: Richard C. Aiken, Oxford University Press, 1985.

Uri M. Ascher, Robert M.M. Mattheij, Robert D. Russel, Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations. Prentice Hall Series in Computational Mathematics, 1988.
 
 
 
 

370. Differenciaegyenletek (2+0)

Differencia-kalkulus. Egzisztencia- és unicitástételek. Lineáris egyenletrendszerek (generátorfüggvény, Bernoulli-módszer, Poincaré és Perron tételei). Stabilitás. Ljapunov-módszer. Összehasonlítási tételek. Oszcilláció. Riccati-típusú problémák. Differenciaegyenletek a populációdinamikában, közgazdaságtanban.

Kötelezõ irodalom

S. Goldberg, Introduction to Difference Equations, Dover Publications, 1958.

Ajánlott irodalom

W.G. Kelley, A.C. Peterson, Difference Equations, Academic Press, 1991.
 
 
 
 

371. Differenciál- és integrál-egyenlõtlenségek (2+0)

Középértékek, nevezetes egyenlõtlenségek (Cauchy, Hölder stb.) és ezek néhány alkalmazása. A Gronwall-Bellman-egyenlõtlenség és általánosításai (Bihari-egyenlõtlenség, többváltozós eset, diszkrét eset, Stieltjes-integrálra vonatkozó egyenlõtlenségek), valamint ezek néhány alkalmazásának bemutatása a közönséges, a funkcionál- és a parciális differenciálegyenletekbõl, továbbá az integrálegyenletekbõl vett példákon. Néhány összehasonlítási tétel közönséges, funkcionál- és parciális differenciálegyenletekre.

Kötelezõ irodalom

V. Lakshmikantham, S. Leela, Differential and Integral Inequalities I- II, Academic Press, 1969.

Ajánlott irodalom

E.F. Beckenbach, R. Bellman, Inequalities, Springer-Verlag, 1961.

G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press, 1934.

W. Walter, Differential and Integral Inequalities, Springer-Verlag, 1970.
 
 
 
 

372. Klasszikus mechanika (2+0)

A Hamilton-féle variációs elv. Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet. Lagrange- féle mechanika sokaságokon. Rezgések. Merev test. A Hamilton-féle kanonikus mozgásegyenletek. A Poincaré-Cartan-féle invariáns integrál. Hamilton-Jacobi- elmélet.

Kötelezõ irodalom

V.I. Arnold, Az elméleti mechanika matematikai alapjai, Mûszaki Könzvkiadó, 1989.

Ajánlott irodalom

F. Gantmacher, Lectures in Analytical Mechanics, Mir, 1975.

H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley press, Inc., 1975.

L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Mechanics, Nauka, 1973 (in Russian).
 
 
 
 

373. Matematikai fizika (2+0)

Konzervatív rendszerek. Megszámlálható Lebesgue-spektrumú dinamikus rendszerek absztrakt elmélete. A d-dimenziós tórusz algebrai automorfizmusai. Szóró és félig szóró biliárdok. A szimbolikus dinamika módszere, Markov felbontások. Disszipatív rendszerek. általános elmélet: termodinamikai formalizmus. A Bowen- Ruelle-Sinai-mérték. Intervallum-leképezések. Sharkovski-tétel, abszolút folytonos invariáns mérték létezése.

Irodalom

Kornfeld-Sinai-Fomin, Ergodic Theory

Bowen: Axiom A Diffeomorphisms

Nitecki: Topological Dynamics

Collet-Eckmann: Iterated Maps on the Interval.
 
 
 
 

374. Klasszikus és kvantumtérelmélet (2+0)

Lagrange és Hamilton formalizmus végtelen szabadsági fokú rendszerekben. A téridõ struktúrája, Lorentz és Poincaré csoport. Mozgásállandók, Noether tételek. Belsõ szimmetriák, mértékelméletek. Az elektromágneses mezõ. Yang Mills terek. Clifford algebrák, Dirac egyenlet. Kanonikus térkvantálás. Pályaintegrál módszer. Térelmélet és részecskefizika.

Irodalom

Sokolov, Ternov, Zhukovski, Borisov: Quantum Electrodynamics, Mir Moszkva 1988

Itzykson, Zuber: Quantum Field Theory, McGraw-Hill NY 1980

Aitchison, Hey: Gauge Theories in Particle Physics 2nd edn., Adam Hilger Briston 1989
 
 
 
 

375. Nemlineáris hullámok és szolitonok (2+0)

Nemlineáris hullámegyenletek a fizikában. Direkt és inverz szórási feladatok. A Korteweg-de Vries egyenlet és a Schrödinger egyenlet. A Zaharov-Sabat sajátértékprobléma. A nemlineáris Schrödinger egyenlet és a Szinusz-Gordon egyenlet megoldása. Toda rácsok. Integrálható rendszerek és megmaradási tételek, KdV hierarchia.

Irodalom

Zaharov et a. Theory of Solitons Moscow Nauka 1980

Ablovitz Segur: Solutions and the Inverse Scattering Transform SIAM Philadelphia 1981
 
 
 
 

376. A kvantummechanika alapjai

A fizikai elméletek szerkezete, események, matematikai modell, interpretáció. állapotok és fizikai mennyiségek, sûrûségoperátor- sûrûségfüggvény. Kvantumlogika. A kvantummechanika geometriai modellje. Szimmetriák. Algebrai módszerek a kvantummechanikában. Kvantummechanika a fázistéren, kvázivalószínûségek, Wigner függvény. Rejtett paraméterek és Bell egyenlõtlenségek.

Irodalom

Haag: Local Quantum Physics, Springer

Piron: Foundations of Physics, Benjamin 1976

Kim, Noz: Phase space picture of quantum mechanics World Sci. 1991
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Valószínûségszámítás és matematikai statisztika alprogramrész
 
 

Témavezetõ: Krámli András, az MTA doktora, Bolyai Intézet, egyetemi tanár

Közremûködõ vezetõ oktatók:

Csörgõ Sándor, az MTA doktora, Bolyai Intézet, egyetemi tanár

Horváth Lajos, kandidátus, Bolyai Intézet, tud. munkatárs

Huhn Edit, kandidátus, Élemiszeripari Fõiskolai Kar, egyetemi docens
 
 
 
 

A valószínûségszámítás és matematikai statisztika alprogramrész leírása
 
 

A valószínûségszámítás szerencsejátékokkal kapcsolatos feladatok megoldásából fejlõdött önálló matematikai diszciplinává a 18. században. Kezdetben elsõsorban vonzó problémafelvetéseivel termékenyítette meg a matematika többi ágát, elsõsorban a valós és komplex analízist. Szigorú - a matematikusok többsége által elfogadott - megalapozását Kolmogorov végezte el 1933-ban épp azáltal, hogy kapcsolatba hozta a század elején kialakult Lebesgue-féle mértékelmélettel. Századunkban - amellett, hogy a valószínûségszámítás számos fizikai, mûszaki és társadalomtudományi probléma megoldásában játszott alapvetõ szerepet - alkalmazást nyert a matematika olyan klasszikus fejezeteiben is, mint pl. a számelmélet és a funkcionálanalízis. A matematika olyan új ágai, mint az információelmélet, irányításelmélet létre sem jöhettek volna fejlett valószínûségszámítási eszköztár nélkül. A valószínûségszámítás napjainkban is intenzíven fejlõdik, elsõsorban a matematikai fizikából (kvantummechanika, statisztikus mechanika és a folytonos közegek mechanikája) származó minõségileg új feladatok megoldása nyomán. Egyetlen - önkényesen kiragadott - példa is mutatja a szituáció bonyolultságát: a fizikusok több, mint két évtizede "létezõ objektumként" számolnak az ún. önelkerülõ bolyongással, míg a matematikusok egy része szerint ilyen objektum korrekt módon nem is definiálható. A matematikai statisztika gyakorlati és ismeretelméleti jelentõsége felmérhetetlen: pontosan annyit tudhatunk meg mérések által a külvilágról, amennyit a matematikai statisztika szabályai lehetõvé tesznek. A statisztika önmagában is számos speciális valószínûségszámítási problémát vet fel, így a matematika önálló és szüntelenül fejlõdõ ágának tekinthetõ. Ma már a matematika szinte minden ágát áthatja a valószínûségi szemlélet, a matematika alapjaitól az algoritmuselméletig: pl. a bizonyításelmélet legújabb eredményei szerint számos bonyolult matematikai bizonyítás esetében meg kell elégednünk, olyan kijelentéssel, hogy a bizonyítás 1-hez nagyon közeli valószínûséggel helyes.
 
 
 
 

A valószínûségszámítás és matematikai statisztika alprogramrészhez kapcsolódó kurzusok
 
 

236. Válogatott fejezetek a matematikai analízisbõl (2+0)

A mértékelmélet Rokhlin-féle felépítése: a mérhetõ partíciók elmélete. Alkalmazás: a dinamikai rendszerek Kolmogorov-Rokhlin-Sinai elmélete. A vektorértékû függvények  terén értelmeztt operátorok spektrálelmélete, Szegõ tétele.

Irodalom [1], [2], [3].
 
 
 
 

237. Határeloszlástételek (2+0)

A korlátlanul osztható eloszlások kanonikus elõállítása. A korlátlanul osztható eloszlásokhoz való konvergencia feltételei. Konvergencia a Poisson eloszláshoz. A centrális határeloszlástétel élesítései (Berry-Esseen és Edgeworth típusú tételek). A nagy eltérések valószínüségei. A valószínûségi mértékek gyenge konvergenciája.

Irodalom [4], [5], [6].
 
 
 
 

238. Válogatott fejezetek a matematikai statisztikából (2+0)

Becsléselmélet, a maximum-likelihood becslésre vonatkozó határeloszlástételek. Információelméleti módszerek a statisztikában, a loglineáris modell. Statisztikai következtetések kis mintából: a "jackknife" és a "bootstrap" módszer.

Irodalom [18], [19], [20], [21].
 
 
 
 

377. A Markov folyamatok általános elmélete, diffuziós folyamatok (2+0)

A Markov operátorok félcsoportja, Hille-Yosida tétel. Kolmogorov egyenletei. A Feynman-Kac formula. A sztochasztikus integrál. A sztochasztikus differenciálegyenletek általános elmélete.

Irodalom [7], [8], [9], [10].
 
 
 
 

378. A sztochasztikus folyamatok statisztikája (2+0)

A stacionárius Gauss folyamatok spektrálelmélete. Az elõrejelzés és szûrés problémája. A Kolmogorov-Wiener és a Kalman szûrõ. A Gauss-Markov folyamat ekvivalens definíciói, és paramétereinek becslése. A sztochasztikus irányítás néhány speciális feladata: a riasztás problémája, a "kétkarú bandita".

Irodalom [8], [11], [12], [13].
 
 
 
 

379. A matematikai fizika valószínûségi módszerei (2+0)

A bolyongások elmélete és a potenciálelmélet. A véletlen Schrödinger operátor, Wigner tétele. Véletlen mezõk elmélete, Gibbs eloszlások. Bevezetés a fázisátalakulások elméletébe.

Irodalom [14], [15], [16], [17].
 
 
 
 

Javasolt irodalom

[1] Rokhlin, V. A., Selected topics from the metric theory of dynamical systems, Amer. Math. Soc. Transl. 49 (1966) 171-209.

[2] Privalov, I. I., Randeigenschaften analytischer Funktionen, Berlin (1956).

[3] Helson, H., Lectures on invariant subspaces, New York - London (1964).

[4] Gnyegyenko, B. V. és Kolmogorov, A. N., Független valószínûségi változók összegeinek konvergenciája, Budapest (1951).

[5] Petrov, V. V., Független valószínûségi változók összegei (oroszul, van angol fordítás), Moszkva (1972).

[6] Billingsley, P., Convergence of Probability Measures, New York (1968). [7] Feller, W., An Introduction to Probability Theory and its Application II, New York (1971).

[8] Liptser, R. S. és Shiryaev, A. N., A szztochasztikus folyamatok statisztikája (oroszul, van angol fordítás), Moszkva (1974).

[9] McKean, H. P., Stochastic Integrals, New York - London (1969).

[10] Kac, M., Probability and Related Topics in Physical Sciences, New York - London (1957).

[11] Rozanov, Yu. A., Stacionárius sztochasztikus folyamatok (oroszul, van angol fordítás), Moszkva (1963).

[12] Shiryaev, A. N., Szekvenciális statisztikai analizis (oroszul, van angol fordítás), Moszkva (1976).

[13] DeGroot, M. H., Optimal Statistical Decision, New York - London (1970).

[14] Spitzer, F., Principles of Random Walks, New York - London (1964).

[15] Ruelle, D., Statistical Mechanics, Rigorous Results, Amsterdam - New York (1969).

[16] Sinai, Ya. G., Theory of Phase Transitions, Rigorous Results, Budapest (1982).

[17] Lang, R., Spectral Theory of Random Schrödinger Operators, Heidelberg (1991).

[18] Cramér H., Mathematical Methods of Statistics, (1946).

[19] Kullback S., Information Theory and Statistics, New York (1959).

[20] Csiszár, I., Körner, J., Information Theory, Budapest (1981).

[21] Efron, B., Bootstrap methods: Another look at the jackknife, AMS 7, 1-26, (1979).
 
 

Az alprogram vezetõje: Hajnal Péter, kandidátus, Bolyai Intézet, egyetemi docens

Közremûködõ vezetõ oktatók, kutatók:

Fehér László, az MTA doktora, egy. docens,

Hajnal Péter, kandidátus, egy. docens,

Kincses János, kandidátus, egy. docens,

Kurusa Árpád, kandidátus, egy. docens,

Turán György, kandidátus, tudományos fõmunkatárs.
 
 
 
 

A geometria és kombinatorika alprogram leírása
 
 

Napjainkban a geometria jelenti azt a matematikai diszciplinát, amely a szemléletes sik és tér matematikai modelljével analóg tulajdonságokkal rendelkezõ matematikai struktúrákat vizsgálja. A geometria kutatási módszerei megegyeznek a matematikáéival, tehát lehetnek: diszkrét matematikaiak, algebraiak, topologikusok vagy analitikusok.

Ezt az interdiszciplináris értelmezést tükrözték a Szegeden végzett kutatások. A Bolyai Intézet geometriai iskolájának a híres képviselõi a fenti módszereknek kiemelkedõ szakemberei voltak. (Például Kerékjártó B.: topologikus, Szõkefalvi-Nagy Gyula és Rédei L.: algebrai, Szõkefalvi Nagy B.: analitikus, Lovász L.: kombinatorikus.) Az elmult 30 évben a kombinatorika szerepe nagyon felértékelõdött. Ez indokolja a geometriának és kombinatorikának az alprogram cimében való összekapcsolását. Valóban ugy gondoljuk, hogy egy geometriai irányban tanulmányokat folytató doktorandusznak tapasztalatokat kell szereznie a véges és diszkrét matematikai módszerek fontosságáról.

Az alprogramunkban résztvevõ oktatók tudományos munkássága a matematka alábbi területeihez kapcsolódik: diferenciál- és integrál geometria, konvexitás elmélet, topológia, funkcionaálanalizis, matematikai fizika, topologikus és analitikus algebrák, a fóliázások elmélete, a projektiv sikok elmélete, kombinatorika, algoritmus elmélet. Projektünket támogatja a 8 Nyugat-európai egyetem geometriai tanszékeiböl álló Bolyai Network, amelyet véges geometriai kutatásokban és ezek kódolás elméleti alkalmazásában való együttmüködésre szerveztek (TEMPUS JEP-0153).
 
 

Doktori alprogramunkban a következõ témákban tervezünk tanulmányokat:

Differenciálgeometria,

Lie csoportok és Lie algebrák,

Analizis sokaságokon, item topológia,

Geometria alapjai,

Kombinatorika,

Algoritmikus geometria.
 
 
 
 

A geometria és kombinatorika alprogramhoz kapcsolódó kurzusok
 
 
 
 

103. Topológia (2+0)

Topolóikus tér. Kompakt és lokálisan kompakt terek. Egységfelbontás létezése. Topológikus sokaság. Homotópia és szimpliciális komplexusok. A fundamentális csoport. A 2-dimenziós triangulálható sokaságok osztályozása. Topológikus csoport és transzformációcsoport. Részcsoport szerinti faktortér indukált topológiája. Homogén tér. Differenciálható és analitikus sokaság. Lie csoport.

Kötelezõ olvasmányok:

Császár á., Bevezetés az általános topológiába. Akadémiai kiadó, Budapest, 1978.

L.Auslander-R.E.MacKenzie, Introduction to Differentiable Manifolds, Dover, 1977

Ajánlott olvasmányok:

M.W.Hircsh, Differential Topology, Springer, 1976.

N.Steenrod, The topology of fiber bundles, Princedton, 1951.
 
 
 
 

104. Diszkrét matematika (2+0)

Leszámlálási feladatok: Formális hatványsorok. Egész számok particiói, Jacobi formulák, Ramanujan-Rodgers azonosság. Möbius függvény kiszámítási módszerei, hálók, Euler részben rendezett halmazok. Aszimptotikus formulák.

Gráfelmélet: Párosítások száma egy gráfban, permanens, Van der Waerden sejtés és bizonyítása. Gráfok sajátértékei.

Halmazrendszerek: Matroidok. Hadamard mátrixok.

Módszerek: Véletlen módszer a kombinatorikában.

Algoritmuselmélet: Turing gépek. Véletlen algoritmusok. Bizonyítási eljárások. Bonyolultsági osztályok, P, NP, BPP. NP-teljesség.

Ajánlott olvasmányok:

R. Stanley, Enumerative combinatorics, The Wadsworth & Brooks/Cole, Monterey, CA 1986.

L. Lovász, Combinatorial problems and exercises, Akadémia Kiadó, Budapest, 1979.

L. Lovász and M.D. Plummer, Matching theory, Akadémia Kiadó, Budapest, 1986.

A.V. Aho,J.E. Hopcroft and J.D. Ullmann, Számítógépes algoritmusok tervezése és analízise, Mûszaki Kiadó, Budapest, 1982.
 
 
 
 

241. Kombinatorikus módszerek a geometriában (2+0)

Blokkrendszerek: Blokkrendszerek paraméterei és oszthatósági feltételek. Steiner-rendszerek. Feloldható blokkrendszerek. Baranyai tétel. Matroidok: Mûveletek matroidokkal. Matroidok koordinátázhatósága. Bináris matroidok karakterizációja. Grafikus matroidok. Véges projektív geometriák: Latinnégyzetek. Véges projektív geometriák paraméterei. Desargues és Pappos síkok. Desargues és Pappos síkok koordinátázhatósága. Véges affin síkok. Hadamard matrixok. Véges tükrözési csoportok. Coxeter csoportok és komplexusok. épületek.

Ajánlott olvasmányok:

M. Jr. Hall, Combinatorial theory, Waltham, Mass. 1967.

D.J.A. Welsh, Matroid Theory, Academic Press, London, 1976.

Henry H. Crapo, On the foundation of combinatorial theory: Combinatorial geometries, MIT Press, Cambridge, 1976.

Kárteszi Ferenc, Bevezetés a véges geometriákba, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1972.

Brown, Buildings, Springer-Verlag, London, 1989.
 
 
 
 

242. Riemann geometria (2+0)

Riemann metrika, Levi-Civita konnexió. Geodetikusok, konvex környezet, normál koordináta rendszer. Geodetikusok variációja, Jacobi vektormezõk, konjugált pontok. Hopf-Rinow tétel, Hadamard tétele. Morse index tétel. Szekcionális görbület, görbületi tenzor, skalár görbület. Konstans görbületû terek.

Kötelezõ olvasmányok:

M. P. do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992.

J. Milnor: Morse Theory, Princeton University Press, 1963.

Ajánlott olvasmányok:

W. Klingenberg, D. Gromoll, W. Meyer: Riemannsche Geometrie im Grossen, Springer, 1968.

J. Cheeger, D. Ebin: Comparison Theorems in Riemannian Geometry, North-Holland, 1975.
 
 
 
 

243. Konvex testek és klasszikus integrálgeometria (2+0)

Konvex halmazok alapvetõ tulajdonságai, Charatheodory, Radon, Helly tételei. Szeparáció, Euler reláció, dualitás. Konvex halmazok approximációja, Blaschke kiválasztási tétele. Vegyes térfogat, Brünn - Minkowski tétel, Minkowski és Fenchel - Alexandrov egyenlõtlenség. Sûrûsegek pontokra, egyenesekre, kinematikus sûrûség, síkbeli integrálformulák. Steiner formula, quermassintegrálok, Blaschke és Poincaré alapformulái. Görbületi integrálok és alkalmazásaik.

Ajánlott olvasmányok:

L.A.Santalo, Integral Geometry and Geometric Probability, Encyclopedia of Math., Addison - Wesley, London, 1976.

T.Bonnesen, W.Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Springer, Berlin, 1934.

W.Blaschke, Vorlesungen über Integralgeomtrie, Berlin, 1955.

H. Busemann, Convex surfaces, Interscience, London, 1958.
 
 
 
 

244. Algoritmikus geometria (2+0)

Geometriai problémák megoldása során használt speciális adatstruktúrák. Geometriai keresések. Politopok és síkrendszerek kódolása, permutációs táblák. Ponthalmazok particionálása. Síkrendszerek zónái. Cellarendszerek bonyolultsága. Konvex burok algoritmikus meghatározása két és többdimenzióban. Az eljárások átlagos viselkedése. Lineáris programozás geometriája. Pont helyének meghatározása síkbeli egyenesrendszeben. Legnagyobb konvex részhalmaz. Minimális mértékû szimplexek. Vektorösszeg maximalizálása. Hasonlóság megállapítására szolgáló eljárások. Voronoi diagramm meghatározása. Pontrendszerek triangulálása, legközelebbi szomszéd megkeresése, minimális feszítõfa, ponthalmazok alakja. Pontrendszerek szeparálása és metszése. Algoritmusok tervezése.

Ajánlott olvasmányok:

F.P.Preparata, M.I.Shamos, Computational Geometry-an Introduction, Springer, New York, 1985.

H.Edelsbrunner, Algorithms in Combinatorial Geometry, Springer, New York, 1987.
 
 
 
 

245. Geometriai algebra (2+0)

Affin és projektiv sikok. Desargues tétele és a koordináta test. Papposz tétele és a kommutativitás. A koordináta test karakterisztikája és a Fano konfiguráció. Kollineációk és a szemilineáris leképezések. Szimplektikus és ortogonális geometria. A szimplektikus és az ortogonális csoport szerkezete. Clifford algebra.

Kötelezõ olvasmányok:

E. Artin: Geometric Algebra, Princeton University, 1957.

R. Baer: Linear Algebra and Projective Geometry, Academic Press, 1952.

Ajánlott olvasmányok:

D. R. Hughes, F. C. Piper: Projective Planes, Springer, 1970.

J. Dieudonné: La Géométrie des Groupes Classiques, Springer, 1955.
 
 
 
 

246. Riemann geometria (2+0)

Riemann metrika, Levi-Civita konnexió. Geodetikusok, konvex környezet, normál koordináta rendszer. Geodetikusok variációja, Jacobi vektormezõk, konjugált pontok. Hopf-Rinow tétel, Hadamard tétele. Morse index tétel. Szekcionális görbület, görbületi tenzor, skalár görbület. Konstans görbületû terek.

Kötelezõ olvasmányok:

M. P. do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992.

J. Milnor: Morse Theory, Princeton University Press, 1963.

Ajánlott olvasmányok:

W. Klingenberg, D. Gromoll, W. Meyer: Riemannsche Geometrie im Grossen, Springer, 1968.
 
 
 
 

247. Algebrai topológia (2+0)

Homotópia és szimpliciális komplexusok. Baricentrikus felbontás és a szimpliciális approximációs tétel. A fundamentális csoport és kiszámítási módjai. A 2 - dimenziós triangulálható sokaságok osztályozása. Szinguláris homologiacsoportok és kiszámítási módjai: szimpliciális homológiák, egzakt sorozatok. Homológiák tetszõleges együtthatócsoporttal, a Lefschetz féle fixponttétel. Kohomológicsoportok és kiszámítási módjaik. Alexader - Poincare dualitás. CW - komplexusok homotopiaelmélete. Whitehead tétele és a celluláris approximáció. CW - komplexusok homologia és kohomológiaelmélete. Hurewitz tétele. Kohomolgia szorzatok.

Ajánlott olvasmányok:

S. Eilenberg, N. Steenrod, Foundations of Algebraic Topology, Princeton, 1952.

E. Spanier, Algebraic Topology, McGraw - Hill, New York, 1966.

C.R.F.Maunder, Algebraic Topology, Van Nostrand Reinold, London, 1970.

W.S.Massey, Singular Homology Theory, Springer, 1980.
 
 
 
 

380. Gelfand-féle integrál geometria (2+0)

Radon transzformáció valós affin téren (invertálhatóság, tartó tételek, Plancherel formula, Paley-Wiener tétel, kapcsolat más transzformációkkal), disztribúciók Radon transzformációja, Radon transzformáció komplex tartományon, Radon transzformáció és differenciálás, Radonszerû transzformációk konstans görbületû és Lorentz tereken.

Kötelezõ irodalom:

I.M.Gel'fand-M.I.Graev-N.Ya.Vilenkin, Generalized functions I., V. S.Helgason, Radon transform

Ajánlott irodalom

S.Helgason, Groups and geometric analysis,

V.G.Romanov, Integral geometry and inverse problems for Hyperbolic equations,

F.John, Plane waves and spherical means
 
 
 
 

381. Geometriai analízis (2+0)

Fourier analízis konstans görbületû tereken, invariáns mérték sokaságokon, invariáns differenciál operátorok sokaságokon, szférikus transzformáció (szférikus függvénysorok, Paley-Wiener tétel, inverz formulák).

Kötelezõ irodalom:

S.Helgason, Groups and geometric analysis

Ajánlott irodalom

V.S.Varadarajan, Lie groups, Lie algebras and their representation,

S.Helgason, Differential geometry and symmetric spaces,

E.Hewitt and K.A.Ross, Abstract harmonic analysis
 
 
 
 

382. Gráfelmélet (2+0)

Összefüggõség: irányított gráfok összefüggõsége, seholsem 0 folyamok. Párosítások: Gallai-Edmonds struktúra tétel, Edmonds polytop, Véletlen módszerek u(G) meghatározására.

Gráfok színezései: Hajós tétele, Kneser gráf és kromatikus száma,  kromatikus száma. Független halmazok gráfokban: -kritikus gráfok, pontpakolási politop, perfekt gráfok, gráfok Shannon kapacitása. Gráfok sajátértékei, véletlen séták gráfokon, gráfok nagyító paramétere, expander gráfok és konstrukcióik. Szimmetrikus gráfok: erõsen reguláris gráfok, barátság tétel, tranzitív gráfok, Cayley gráfok. Véletlen gráfok.

Ajánlott olvasmányok:

L. Lovász and M.D. Plummer, Matching theory, Akadémia Kiadó, Budapest, 1986.

L. Lovász, Combinatorial problems and exercises, Akadémia Kiadó, Budapest, 1979.

P.J. Cameron and J.H. van Lint, Graph theory, Coding theory and block designs, Cambridge University Press, 1980.
 
 
 
 

383. Konvex geometria (2+0)

Konvex halmazok kombinatorikus tulajdonságai, Charatheodory, Radon, Helly tétel és ezek általánosításai, alkalmazásai. Konvex halmazok szeparálása, dualitás. Konvex halmazok approximaciója, a Blaschke féle kivalasztási tétel. Mûveletek konvex halmazokkal, vegyes térfogat. Izoperimetrikus tétel. Konstans szélességû konvex testek. Konvex testek értékelései. Zonoidok.

Ajánlott olvasmányok:

H.G.Eggleston, Convexity, Cambridge Univ. Press 47, (1958).

L.Danzer, B.Grünbaum, V.Klee, Helly's theorem and its relatives, Proc. Symp. Pure Math., 7 (Convexity) (1963), 101 - 180.

B.Grünbaum, Convex Polytopes, John Wiley & Sons, Lomdon, 1967.

P.M. Gruber, J.M.Wills, Convexity and its applications, Birkhauser, 1983.
 
 
 
 

384. Szövet geometria (2+0)

Kvázicsoportok, loopok és hálózatok. Koordinátázás és záródási tételek. Projektivitások és kollineációk. Moufang és Bol loopok és hálózatok. Differenciálható szövetek és hálózatok. Loopok érintõ algebrája. Chern konnexió. Záródási feltételek jellemzése görbülettel és torzióval. Diffrenciálható Moufang loopok és Malcev algebrák.

Kötelezõ olvasmányok:

M. A. Akivis, A. M. Shelekhov: Geometry and Algebra of Multidimensional Three-Wbs, Kluwer Academic Publ., 1992.

A. Barlotti, K. Strambach: The Geometry of Binary Systems, Adv. in Math, 49, 1983, 1-105. Ajánlott olvasmányok:

P. T. Nagy: Invariant tensorfields and the canonical connection of a 3-web, Aequationes Math., 35, 1988, 31-44.

P. T. Nagy: Complete group 3-webs and 3-nets, Arch. Math., 53, 1989, 411-413.

P. T. Nagy: Extension of local loop isomorphisms, Monatshefte f. Math., 112, 1991, 221-225.
 
 
 
 

385. Integrable Systems (2+0)

Hamiltonian systems. Darboux theorem. Symplectic manifolds. Legendre transformation. Free particle in pseudo-Riemannian space. The momentum map. Reduction methods with symmetry. Liouville theorem. Action and angle variables. Adler-Kostant-Symes theorem. Integrable mechanical systems, examples.

Kötelezõ olvasmányok:

A. M. Perelomov: Integrable Systems of Classical Mechanics and Lie Algebras, Birkh\"auser, 1990.

R. Abraham, J. Marsden: Foundations of Mechanics, Benjamin, 1978.

Ajánlott olvasmányok:

V. I. Arnold: A klasszikus mechanika matematikai módszerei, Müszaki Könyvkiadó, 1988.

J. M. Souriau: Structure des Systemes Dynamiques, Dunod, 1970.
 
 
 
 

386. Bonyolultságelmélet (2+0)

Hálózatok: Hálózat méret és Turing gép bonyolultság kapcsolata. általános alsó becslések. Konstans mélységû hálózatok. Hastad lemma. Alsó becslések véletlen megszorítások módszerével. Alsó becslések az approximáció módszerével. Razborov és Smolenski tételei. Monoton hálózatok. Approximációs módszer alkalmazása különbözõ függvények esetére. Az approximációs módszer határai. Andreev alsó becslései. Elágazó programok: Elágazó programok bonyolultsága és Turing gépek; Masek tétele. Korlátos szélességû elágazó programok. Formulák: Formulá méret és hálózat mélység kapcsolata. Szimmetrikus függvényeket kiszámító kis formulák. Ne\v ciprok tétele. Ramsey elméleti módszerek; Hodes, Specker, Pudlák tétele. Véletlen megszorítások, Subotovskaja módszere; Andreev tétele. Monoton formulák. Véletlen megszorítás módszere; Karchmer, Wigderson tétele. Lineáris algebrai módszer; Razborov tétele. Kommunikációs bonyolultság alkalmazása; Raz, Wigderson tétele. Kommunikációs bonyolultság: Rang függvény módszer. Möbius függvény. Véletlen kommunikációs bonyolultság. Disztribuciós bonyolultság. Boole döntési fák: Példák tartozkodó függvényekre. Rivest-Vuillemin tétele. Topológikus módszerek; Kahn, Saks, Sturtevan tétele. Véletlen döntési fák. Nemdeterminisztikus döntési fák. Boole függvények érzékenysége.

Ajánlott olvasmányok:

Handbook of Theoretical Computer Science, Volume A: Algorithms and complexity, (Ed. J. van Leeuwen), R. Boppana, M. Sipser, Chapter 14, MIT Press, 1990.

Paul E. Dunne, The complexity of Boolean networks, Academic Press 1988.

I. Wegener, The complexity of Boolean functions, Wiley-Teubner, 1987.
 
 
 
 

387. Politopok kombinatorikája (2+0)

Charatheodory, Radon, Helly tétel és ezek általánosításai, alkalmazásai. Politopok konstruálása, Gale transzformáltak. Euler reláció, Dehn - Sommerville egyenletek. Felsõ korlát a lapok számára. 3 - politopok kombinatorikus tipusai, a Steinitz tétel. Politopok vázának strukturája, a van Kampen - Flores tétel. Az f-vektorok karakterizálása. Politopok összeadása és felbontása. Hamilton utak és körök politopokon. Szabályos politopok.

Ajánlott olvasmányok:

H.Hadwiger, H.Debrunner, V.Klee, Combinatorial Geometry in the Plane, Holt, Reinhardt and Winston, New York, 1964.

L.Danzer, B.Grünbaum, V.Klee, Helly's theorem and its relatives, Proc. Symp. Pure Math., 7 (Convexity) (1963), 101 - 180.

B.Grünbaum, Convex Polytopes, John Wiley & Sons, Lomdon, 1967.
 
 
 
 

388. Halmazrendszerek (2+0)

Metszõ halmazrendszerek, Erdõs-Ko-Rado tétel általánosításai. Katona-Kruskal tétel, izoperimetrikus problémák. FKG egyenlõtlenség és alkalmazásai. Halmazrendszerek metszési korlátozásokkal. Ray-Chaudhuri-Wilson tétel. Alkalmazások; Borsuk sejtés cáfolata. Tenzor szorzat módszer: Bollobás tétel, Lovász László élesítési. Lineáris algebrai módszer alkalmazásai a bonyolultságelméletben: kommunikációs bonyolultság, formula bonyolultság, Razborov tétel.

Ajánlott olvasmányok:

Ian Anderson, Combinatorics of Finite sets, Clarendon Press, Oxford, 1989.

L. Babai and P. Frankl, Linear algebra methods in combinatorics with applications to geometry and computer science, Preliminary version, Department of Computer Science, The University of Chicago, 1992.
 
 
 
 

389. Konnexió elmélet és holonómia csoportok (2+0)

Konnexiók principális nyalábokon. Párhuzamosság. Holonómia csoport. Holonómia tétel. Redukciós tétel. Infinitézimális holonómia csoport. Lineáris konnexiók. Riemann terek holonómia csoportja. De Rham dekompoziciós tétele. Invariáns konnexiók reduktiv homogén tereken és szimetrikus tereken. Invariáns Riemann metrikák és komplex strukturák.

Kötelezõ olvasmányok:

S. Kobayashi, K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry, I, II, Interscience Publ., 1963, 1969.

A. Lichnerowicz: Théorie Globale des Connexions et des Groupes d'Holonomie, Cremonese, 1955.

Ajánlott olvasmányok:

K. Nomizu: Lie Groups and Differential Geometry, Publ. Math. Soc. Japan, 1956.

A. Lichnerowicz: Géométrie des Groupes de Transformations, Dunod, Paris, 1958.
 
 
 
 

390. Szimmetrikus terek (2+0)

Variációs és összevetõ tételek, pincselt sokaságok, lokálisan szimetrikus terek, szimetrikus és kétpont-homogén terek, izometria csoporttok, kanonikus konnexio - Jacobi egyenletek, totál geodetikus részsokaságok, Riemann-féla homogén terek, elsõfajú Riemann-féle szimetrikus terek, geodetikusok sokasága.

Kötelezõ irodalom:

S.Helgason, Lie groups and symmetric spaces

Ajánlott irodalom:

I.Chavel, Riemannian symmetric spaces

J.A.Wolf, Spaces of constant curvature

S.Kobayashi and K.Nomizu, Foundation of differential geomatry II.

A.L.Besse, Manifolds all of whose geodesics are closed