Törzstárgyak

Halmazelmélet és matematikai logika

1. Nyelvek és struktúrák, ítéletkalkulus. Az ítéletkalkulus teljességi tétele.
2. Kompaktsági tétel, Löwenheim-Skolem tételek. Teljességi tétel.
3. A modellelmélet elemei. Ultraszorzat és kompaktsági tétel.
4. Rekurzív függvények, Gödel függvény. Turing gépek és kiszámíthatóság. A megállási probléma eldönthetetlensége.
5. Ekvivalencia és számosság fogalma. Megszámlálható és kontinuum számosságú halmazok. Műveletek számosságokkal.
6. Rendezett halmazok és rendtípusok. Műveletek rendszámokkal. Transzfinit indukció és rekurzió. A kiválasztási axióma és ekvivalensei.

Automaták és formális nyelvek

1. Reguláris nyelvek jellemzése véges indexű (jobb) kongruenciákkal. Nerode és Myhill tételei. Automaták minimalizálása.
2. Reguláris, környezetfüggetlen és determinisztikus nyelvek zártsági tulajdonságai. Eldönthetőségi kérdések.
3. Környezetfüggetlen nyelvtanok átalakításai, Chomsky- és Greibach-féle normálformák. Parikh tétele és következményei.
4. Környezetfügő nyelvek és lineárisan korlátos automaták, valamint kifejezés strukturájú nyelvek és Turing gépek kapcsolata.

Kiszámíthatóság elmélet és algoritmusok bonyolultság elmélete

1. A kiszámíthatóság ekvivalens definíció.
2. Relatív kiszámíthatóság. Az aritmetikai hierarchia.
3. A bonyolultság Blum féle elmélete.
4. P és NP problémák.

Blokkok

Analízis

1. Topológikus és metrikus terek, folytonos függvények
2. Többváltozós függvények differenciálhatósága, feltétlen és feltételes szélsőértékek.
3. Többváltozós függvények integrálhatósága, integrálás helyettesítéssel és Fubini tételének alapján.
4. Mértékek, Lebesgue integrál.
5. Holomorf függvények, Taylor- és Laurent-sor.

Differenciálegyenletek

1. Közönséges differenciálegyenletek kezdetiérték feladata
2. Közönséges lineáris differenciálegyenletek elmélete.
3. Közönséges differenciálegyenletek megoldásának stabilitása.
4. Elliptikus PDE, a Direichlet feladat megoldása.
5. Hiperbolikus PDE.
6. Parabolikus PDE.

Numerikus matematika

1. A sajátérték feladat megoldása: az LR- és a QR- algoritmus.
2. Mátrixok általánosított inverze, lineáris egyenletrendszerek normális megoldása.
3. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása éa függvények minimalizálása, a többváltozós Newton-Raphson módszer.
4. Függvények közelítése köbös spline-okkal.
5. Függvények diszkrét négyzetes közelítése, Fourier transzformált.
6. A kezdetiérték feladat megoldása egylépéses módszerekkel: Runge - Kutta módszerek.
7. A kezdetiérték feladat megoldása egylépéses módszerekkel: prediktor-korrektor módszerek.
8. A peremérték feladat megoldása a véges differenciák módszerével.
9. Elliptikus PDE megoldása a véges differenciák módszerével.
10. Parabolikus PDE megoldása a véges differenciák módszerével.

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika

1. Nagy számok gyenge és erős törvényei, Csebisev- és Kolmogorov-egyenlőtlenség.
2. A karakterisztikus függvény és tulajdonságai, központi határeloszlástétel.
3. A generátorfüggvény és tulajdonságai, Markov-láncok.
4. Születési-, halálozási- és elágazási láncok, felújításelmélet.
5. Sztochasztikus folyamatok, Poisson-folyamat
6. A többváltozós normális eloszláscsalád, a -, t- és F-eloszlás.
7. Statisztikai becslések, konfidencia intervallum a normális eloszlás várható értékére és szórására.
8. Statisztikai próbák, -, t-, F- és -próba.

Matematikai struktúrák
Boole függvények

1. Csoportok, véges csoportok.
2. Boole-függvények megadása és minimalizálása.
3. Boole-függvények klónjai.
4. Hibajelző és hibajavító kódolások.

Gráfelmélet
Kombinatorikus optimalizálás

1. Gráfok összefüggősége, fák, minimális költségű feszítőfa keresés, folyamok, Menger tételei.
2. Párosítások gráfokban. Kőnig tétele. Magyar módszer. Tutte tétele. Edmonds algoritmus.
3. Gráfok színezése, kromatikus szám, síkgráfok.
4. Korlátozás és szétválasztás módszere, annak alkalmazásai.
5. Kiszolgáló telepítési problémák, a megoldásukra szolgáló eljárások.
6. Utazó ügynök heurisztikák.

Formális szemantika
Programhelyesség bizonyítás

1. Folyamatábra programok, while-programok és rekurzív programok operációs szemantikája.
2. Fixpontok teljes parciális rendezés felett.
3. While-programok és rekurzív programok denotációs szemantikája.
4. Floyd módszere a folyamatábra programok parciális helyességének bizonyítására. Totális helyesség bizonyítása jól megalapozott halmazok segítségével.
5. Haare módszere a while-programok parciális és totális helyességének bizonyítására.

Adatbázisok elmélete
Információs rendszerek

1. Adatbázisok tervezése. Alapfogalmak, egyed-kapcsolat diagram, normalizálás. Boyce-Cod, harmadik és negyedik normálforma.
2. Adatbázisok ábrázolása. File és rekordszerkezetek, hash kódok, indexek.
3. Adatbázis kezelő rendszerek. Lekérdezések optimalizálása, adatbiztonság, konkurrens folyamatok végrehajtása.
4. Az SQL adatbázis lekérdező nyelv főbb utasításai.
5. Commit protokolok.
6. Számítógépes információs rendszerek "életciklus" modellje (rendszerelemzés, követelmény specifikáció, előzetes tervezés, részletes tervezés, rendszerkivitelezés, tesztelés, karbantartás).
7. SSADM: alkalmazott módszerek, technikák, diagramok. Analízis fázis.
8. SSADM: követelmény specifikáció, logikai adattervezés, logikai processz tervezés.

Számítógépes geometria
Mesterséges intelligencia

1. A perspektivikus, nyompáros, mérőszámos ábrázolás.
2. Axonometria, szterografikus projekció.
3. Egyszerű Bezier görbék.
4. Összetett Bezier görbék, racionális Bezier-görbe.
5. Felületek ábrázolása.
6. Alakfelismerés és azonosítás.
7. Fuzzy rendszerek és műveletek.
8. Döntési fák.
9. Neurális hálózatok.
10. Clusterezés.
11. Adatbányászat és adatvizualizáció.
12. Többtényezős döntések.

Képfeldolgozás
Orvosi képfeldolgozás

1. Mintavételezés, kvantálás. Sávhatárolt függvények, Shannon-féle mintavételezési tétel.
2. Képek helyreállítása. Torzítás és modellezése, lineáris rendszerek, pontválaszfüggvény (PSF), modulációs transzfer függvény (MTF). Inverz szűrés, Wiener-féle szűrés.
3. Képek szűrése. Ideális alul és felül áteresztő szűrők.
4. Hisztogram, hisztogram-transzformációk, hisztogram-kiegyenlítés.
5. Képek símítása, medián-szűrés, élek kiemelése. Pont-, vonal- és éldetektálás.
6. Képek kódolása. Entrópia, futamhossz-kód, lánc-kód, transzformációs kódolás, JPEG.
7. Képek szegmentálása. Küszöbölés, gradiens operátorok, határvonal detektálás, Hough-transzformáció.
8. CT (kollimátor, kompenzátor, referencia detektor), szinogram, rekonstrukció.
9. Nukleáris medicina. Anger-kamera, kalibráció, QC (minőségellenőrzés), SPECT.
10. Ultrahang. A-, B-, M-scan, Doppler.
11. PET. Pozitron sugárzás, megsemmisülés, pozitron kamera, elnyelődés, time-of-flight.
12. 3-dimenziós megjelenítés.